正方形滾動一周，就是滾動四個90°角。如滾動第乙個90°時，a點所經過的路線長是以點c為圓心、ac長為半徑的-圓周長，此時a點滾動到了a1點(d點滾動到了d1點)；滾動第二個90°時，其路線長是以點d1為圓心、a1d1長為半徑的-圓周長，此時a1點滾動到了a2點的位置；滾動第三個90°時，由於以點a2為圓心，此時a2點的位置未變(b2點滾動到了b3點)；滾動第四個90°時其長是以點b3為圓心、b3c3長為半徑的-圓周長，此時a3點滾動到了a4點的位置。∴a點滾動一周經過的路線長為：
-×2π×8-+-×2π×8+0+-×2π×8=(4-+8)π，當正方形滾動兩周時，正方形頂點a所經過的路線的長等於(8-+16)π。［思維延伸2］：如圖2，將邊長為1的正方形oapb沿x軸正方向連續翻轉2008次，點p依次落在p1、p2、p3、p4…p2008的位置，則p2008的橫座標為_______。
［解析］∵正方形沿x軸正方向連續翻轉4次正好翻轉了一周 ∴翻轉2008次就是翻轉了502周。從p點經過的路線可以看出，在每個週期內，p點相應的沿著x軸的正方向移動了4個單位長度 ∴正方形oapb沿x軸正方向連續翻轉2008次後p點向前移動了4×502=2008個單位長度 ∴p點的橫座標為-1+2008=2007。例6.
如圖6所示，已知在△abc中，∠acb=90°，ac=bc，p是△abc內一點，且pa=3，pb=1，pc=2，求∠bpc的度數。［解析］可先將△apc繞點c按逆時針方向旋轉90°到△bec的位置，由旋轉的性質知，此時△cpe是等腰直角三角形，∠cpe=45°，在△bpe中，由勾股定理逆定理可證出∠bpe=90°，由此可求出∠bpc的度數。［全解］將△apc繞點c按逆時針方向旋轉90°到△cbe的位置，鏈結pe ∴△apc≌△bec ∴ec=pc=2，eb=pa=3，△cpe是等腰直角三角形 ∵pc=2，∠cpe=45°∴pe=2-，在△bpe中 ∵(2-)2+12=32，即pe2+pb2=be2 ∴△bpe為rt△，∠bpe=90°∴∠bpc=∠cpe+∠bpe=45°+90°=135°［思維延伸1］如圖已知，在等邊三角形abc內有一點m，且ma=3，mb=4，mc=5，求等邊三角形abc的面積。
［解析］求等邊三角形的面積，關鍵是求出等邊三角形的邊長。將△amb繞點b按逆時針方向旋轉60°到△cm1b的位置，鏈結mm1，過b點做bd⊥cm1交cm1的延長線於點d,可得△bmm1是等邊三角形 ∴mm1=bm1=bm=4，cm1=am=3，∠bm1m=60°，在△mm1c中，可證m1m2+m1c2=mc2∴∠mm1c=90°，故∠bm1c=150°∴∠bm1d=30°。在rt△bm1d中，可求出bd=2，m1d=2-。
在rt△bdc中，bc2=22+(2-+3)2=25+12- ∴s△abc=-bc2=-(25+12-)=9+-(單位面積)小結：通過以上例題可以看出：1.
利用旋轉的基本性質進行幾何證明的關鍵在於如何正確的使用其基本性質。如：例1、例2、例3、例6都運用了「旋轉前、後的圖形全等」的性質；例4運用了「對應點到旋轉中心的距離相等」以及「對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角」的性質；例5則是把翻轉看成了區域性的旋轉。
2.利用旋轉的基本性質進行幾何證明時，一定要找準旋轉中心、旋轉角和旋轉方向。
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