第一講三角形的證明之等腰三角形
【知識點歸納】
1．定義
有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做等腰三角形的腰，第三邊叫做等腰三角形的底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角。
2．等腰三角形的性質
（1）定理：等腰三角形的兩底角相等（簡稱「等邊對等角」）
（2）推論：等腰三角形中，頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，簡稱「三線合一」
3.等腰三角形的識別：①兩邊相等的三角形是等腰三角形.
若乙個三角形有兩個角相等，則這兩個角所對的邊相等.
三個角都是的三角形是等邊三角形.
頂角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形.
4.等邊三角形的概念：三角形的三邊都相等.
等邊三角形的性質：各個內角都相等，每個內角都等於.
等邊三角形的判定方法：①有乙個角是的等腰三角形是等邊三角形。
三個角都相等的三角形是等邊三角形。
5．等腰三角形是軸對稱圖形，其對稱軸為底邊上的高（或中線或頂角平分線）
【典型例題】
例1． 如下圖，在△abc中，∠b=90°，m是ac上任意一點（m與a不重合）md⊥bc，交∠abc的平分線於點d，求證：md=ma.
例2．如圖：已知ab=ae，bc＝ed，∠b＝∠e，af⊥cd，f為垂足,
求證: ① ac＝ad； ②cf＝df。
例3．如圖，△abc，△bdf為等腰直角三角形，求證：（1）cf=ad；（2）ce⊥ad
例4. 如圖1、圖2，△aob，△cod均是等腰直角三角形，∠aob＝∠cod＝90，
（1）在圖1中，ac與bd相等嗎？請說明理由（4分）
（2）若△cod繞點o順時針旋轉一定角度後，到達圖2的位置，請問ac與bd還相等嗎？為什麼？（8分）
例5. 如圖，在△abc中，ab=ac、d是ab上一點，e是ac延長線上一點，且ce=bd，鏈結de交bc於f。（1）猜想df與ef的大小關係；（2）請證明你的猜想。
例6．如圖，d是等邊三角形abc內一點，且db=da，bp=ab，∠dbp=∠dbc，求∠p的度數．
【過關訓練】
1．（1）等腰三角形的互相重合。
（2）等腰三角形的乙個角是，那麼另兩個角的度數是度。
（3）若等腰三角形的一底角是頂角的兩倍，那麼這個三角形的各個角的度數是
（4）等腰三角形周長為13，其中一邊長是3，則這個等腰三角形底邊長為（ ）
a．7 b．3 c．7或3 d．5
（5）已知乙個等腰三角形的一邊長為5，另一邊長為7，則這個等腰三角形周長是（ ）
a．12 b．17 c．17或19 d．19
2．（2014昌寧縣二模）等腰三角形的乙個外角等於100°，則與它不相鄰的兩個內角的度數分別為（ ）
3．（2014鹽城）若等腰三角形的頂角為40°，則它的底角度數為（ ）
4．（2014南充模擬）等腰三角形乙個角為50°，則這個等腰三角形的頂角可能為（ ）
5．（2014廣東）乙個等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則它的周長為（ ）
6．（1）如圖1，在△abc中，∠a=，be=bd，cd=cf，則∠edf
（2）如圖2，在△abc中，∠acb=，ac=ad，bc=be，則∠dce=（ ）
a． b． c． d．隨∠a大小而變化
（3）若三角形的乙個外角的平分線平行於三角形的一條邊，則此三角形肯定是（ ）
a．直角三角形 b．等邊三角形 c．等腰三角形 d．等腰直角三角形
7．（1）如圖3-1，在△abc中，∠a=，ab=ac，bd平分∠abc交ac於d，de⊥bc於e。若bc=6cm，則
△dec的周長是（ ）cm。
a．5 b．6 c．7 d．8
（2）如圖3-2，已知ab=ac，bd⊥ac，求證：∠dbc=∠a。
8.如右圖，已知△abc和△bde都是等邊三角形，求證：ae=cd.
9．如圖，△abc，△bdf為等腰直角三角形，求證：（1）cf=ad；（2）ce⊥ad
【能力提高】
1．如圖4，在△abc中，ab=ac，bc=bd=de=ea，求∠a的度數。
2．如圖5，在△abc中，∠a=，cd是∠bca的平分線，ed是∠cda的平分線，ef是∠dea的平分線，且df=ef，那麼∠b的大小是
3．如圖6，在五邊形abcde中，∠a=∠b=120，ea=ab=bc=dc=de，
則∠d=（ ）
a． b． c． d．
4.如圖，p是ab上一點，△apc，△bdp都是等邊三角形，連線bc和ad．
（1）圖中有一對全等三角形，請你找出它們，並證明．
（2）ad與cp交於m，bc與dp交於n，判斷△pmn的形狀，並說明理由．
（3）ad與bc交於點e，求∠bed的度數．
第二講三角形的證明之直角三角形
【知識點歸納】
1．直角三角形的性質與判定：
1. 直角三角形兩銳角________．
2. 直角三角形中30°所對的直角邊等於斜邊的________．
3. 直角三角形中，斜邊的中線等於斜邊的______．；
4. 勾股定理
5. 勾股定理的逆定理
【典型例題】
例1 如圖，在乙個高為3公尺，長為5公尺的樓梯表面鋪地毯，
則地毯長度為公尺。
例2：如圖，中，，求的長。
例3（2023年·山西）如圖，將矩形abcd沿直線ae摺疊，頂點d恰好落在bc邊上f點處，已知ce＝3cm，
ab＝8cm，則圖中△abf和△efc的面積和為_________
例4 如圖，在四邊形abcd中，bc>ba，ad=dc，bd平分∠abc. 求證：∠dab+∠c=180°
例5. 如圖a所示，中，，，是過的一條直線，
且點、在的異側，於，於，試說明:
（1）.
（2）若直線繞點旋轉到如圖b的位置時（bd＜ce），其餘條件不變，問與、的關係如何？說明理由.
（3）若直線繞點旋轉到如圖c的位置時（bd＞ce），其餘條件不變，則與、的關係又怎樣？
【過關訓練】
1、在△abc中，若∠a：∠b：∠c=1：2：3，則bc：ca：ab
2、在rt△abc中，ab=3,bc=4,則ac= .
3、直角三角形斜邊上的高與中線分別是5cm和6cm，則它的面積是 。
4、（2009·山西）在rt△abc中，∠c=90°,cd⊥ab於d,ab=13,cd=6,則ac＋bc等於（ ）
a、5 b、5 c、13 d、9
5．某市在「舊城改造」中計畫在市內一塊如圖的三角形空地上移植某種草皮以美化環境，已知這種草皮每平方公尺售價a元，則購買這種草皮至少需要（ ）
a．450a元 b．225a元 c．150a元 d．300a元
6、閱讀下面的解題過程，回答後面的問題：
已知a、b、c為△abc的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a4-b4，試判斷△abc的形狀。
解：∵ a2c2-b2c2=a4-b4，①
∴ c2(a2-b2)=(a2＋b2) (a2-b2)，②
∴ c2=a2＋b2，③
∴△abc為直角三角形。
問：（1）上述解題過程中，從哪一步開始出現錯誤,請寫出該步的代號 。
（2）錯誤的原因是
（3）本題的正確解法是：
7、已知，如圖2，△abc中，ab=ac, ∠bac=120°，d是bc的中點，de⊥ab於e，求證：eb=3ea
8、李莉家有一塊地，形狀如圖3所示，經過測量，ab=20m，cd=10m，∠a=60°,∠b=∠d=90°。請你用所學知識幫助李莉算一算這塊地的面積。
9、如圖4所示，把一張矩形紙片沿對角線摺疊，重合部分為△fbd。(1) △fbd是什麼圖形，試說明理由。（2）若∠abf=30°，矩形的面積為12cm2,則△fbd的面積為多少？
【能力提高】
1、（2009·內蒙）如圖5，已知△acb與△dfe是兩個全等直角三角形，且它們的斜邊長為10cm，較小銳角為30，將這兩個三角形擺成如圖5-1所示的形狀，使點b、c、f、d在同一條直線上，且點c與點f重合，將圖5-1中的△acb繞點c順時針方向旋轉到圖5-2的位置，點e在ab邊上，ac交de於點g，則線段fg的長為cm（保留根號）
2．（2010臨沂）如圖1，已知矩形abed，點c是邊de的中點，且ab=2ad．
（1）判斷△abc的形狀，並說明理由；
（2）保持圖1中△abc固定不變，繞點c旋轉de所在的直線mn到圖2中（當垂線段ad、be在直線mn的同側），試**線段ad、be、de長度之間有什麼關係？並給予證明；
（3）保持圖2中△abc固定不變，繼續繞點c旋轉de所在的直線mn到圖3中的位置（當垂線段ad、be在直線mn的異側）．試**線段ad、be、de長度之間有什麼關係？並給予證明．
三角形證明
21.如圖，等腰梯形abcd中，ad bc,ad ab cd 2,c 600,m是bc的中點。1 求證 mdc是等邊三角形 2 將 mdc繞點m旋轉，當md 即md 與ab交於一點e,mc即mc 同時與ad交於一點f時，點e,f和點a構成 aef.試 aef的周長是否存在最小值。如果不存在，請說明理...
三角形證明
1.本小題10分 如圖，在 abc中，ab ac，a 80 e，f，p分別是ab，ac，bc邊上一點，且be bp，cp cf，則 epf a.40 b.50 c.80 d.45 2.本小題10分 如圖，在 abc中，m為bc中點，an平分 bac，an bn於n，且ab 10，ac 18，則mn等...
全等三角形證明精講
1.已知 如圖，四邊形abcd中，ac平分角bad，ce垂直ab 於e，且角b 角d 180度，求證 ae ad be 2 08新疆區卷 如圖，在 abc中，c 2 b，ad是 abc的角平分線，1 b 求證 ab ac cd 3 如圖，abc中，ab ac，過a作ge bc，角平分線bd cf交於...