全等三角形
一、全等三角形知識梳理:
全等三角形的概念：能夠完全重合的兩個三角形；
全等三角形的性質：全等三角形對應邊；對應角相等；對應邊上的中線相等；對應邊上的高相等；
對應角的平分線相等.
三角形全等的條件：（1）sss; (2) sas; (3) asa; (4) aas; (5) hl
兩個三角形不全等的情況：（1）有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形；
（2） 有三個角對應相等的兩個三角形.
全等變換：只改變圖形的位置，而不改變其形狀大小的圖形變換叫全等變換.
平移、翻摺、旋轉前後的圖形全等，具有全等的所有性質.
（1）平移變換：把圖形沿某直線平行移動.
（2）對稱變換：將圖形沿直線翻著1800.
（3）旋轉變換：將圖形繞某點旋轉一定的角度到另乙個位置
.二、角平分線：
角平分線的定義：一條射線，把乙個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線.
角平分線的性質：角平分線上的點到角的兩邊的舉距離相等.到角兩邊距離相等的點在角的角平分線上.
三角形角平分線性質：三角形三條角平分線交於三角形內部一點，並且交點到三邊距離相等.
三、幾何證明的一般步驟：
1. 根據題意，畫出圖形；
2. 根據題設、結論、，結合圖形，寫出已知、求證.
3. 經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程.
四、考點分析
1. 全等的概念和性質；
2．三角形全等的條件：只給出三角形三角三邊六個條件中的乙個或兩個條件時，都不能保證所畫出的三角形一定全等.
3. 全等三角形的利用：
證明角相等：（1）對頂角相等；（2）等角的餘角（或補角）相等；
3）兩直線平行，同位角相等，內錯角相等；（4）角平分線的定義；
5）等式性質；（6）全等三角形的對應角相等；（7）等邊對等角.
證明線段線段：（1）中點定義；（2）等式性質；（3）全等三角形的對應邊相等；
4）等角對等邊；（5）角平分線的性質；（6）中垂線性質。
證明垂直的方法：（1）證明兩直線夾角等於900；（2）證明鄰補角相等；
3）若三角形的兩銳互餘，則第三個角是直角；
4）垂直於平行線中的一條直線也垂直於另一條直線；
5）證明該角所在的三角形與已知直角三角形全等；
6）鄰補角的平分線互相垂直.
證明一條線段等於另外兩條線段的和：採用截長補短法.
1）截長法：在較長的線段上擷取一條線段等於較**段；
2）補短法：延長較**段和較長線段相等.
4. 角平分線的性質及相關證明；
（1）有角平分線時，常用角平分線上的點向角兩邊作垂線段，利用角平分線上的點到角兩邊距離相等證題.
（2）有角平分線時，通常在角的兩邊擷取相等的線段，構造全等三角形.
5. 中線的性質相關證明：
（1）取線段中點構造全等三有形；
（2）有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形；
（3）有三角形中線時，常延長加倍中線，構造全等三角形 (倍長中線).
全等三角形的基本型別
1、平移型全等三角形
△abdace≌△
2、對稱型全等三角形
△abeacdabd≌△
3、旋轉型全等三角形
△abdaoeabe≌△
典型題型分析
型別1. 全等的概念和性質
例1. 如圖，已知≌，，，則對應邊為_____，對應角為_______.
例2. 如圖，已知，若，，，，求的度數.
例3. 如圖,≌,點a和點b、點c和點d分別是對應頂點，如果ab=6cm，bd=7cm，ad=4cm，那麼bc的長為（ ）
a. 6cm b. 5cm c. 4cm d. 不能確定
變式題：如圖，≌,並且ab=cd，那麼下列結論錯誤的是（ ）
a. ∠1＝∠2 b. ∠d＝∠b c. ca=ac d. ac=bc
例3圖變式題圖
例4. 如圖所示，繞頂點a順時針旋轉（旋轉角度不大於1800），若∠b＝300，∠c＝400，問：
（1）順時針旋轉多少度時，旋轉後的的頂點與原的頂點b和a在同一條直線上？
（2）再繼續旋轉多少度時，、、在同一條直線上（原是指開始位置）？
型別2. 三角形全等的條件：
1、「sss」
例1. 如圖，點e、f在bc上，ab=dc，af=de,be=cf.求證：≌.
變式題：已知點b,e,c,f在同一條直線上，ab=df,
ac=de,be=cf.求證：∠a=∠d.
例2. 如圖，ac=ad,bc=bd.求證：∠c=∠d.
例3. 如圖，已知：ac，bd相交於o點，且.
求證：∠b=∠c.
2、「sas」
例1. 在中，ab=ac,ad平分∠bac，求證：≌
例2. 如圖，ab=ac,ad=ae,∠1＝∠2.求證：≌.
【拓展提公升】
1. 如圖，已知：，求證：
2.如圖，已知：，. 求證：.
3、「asa（aas）」
例1. 由ab⊥bd,ed⊥bd,垂足分別為b、d點，點c在bd上，且bc=cd,點a、c、e在同一條直線上，求證：de=ab.
例2.和中，∠a=500, ∠b=300,ab=10, ∠b=500, ∠f=1000,de=10,求證：≌
變式題：如圖, ∠abc=∠dcb, ∠acb=∠dbc,求證：ac=db.
例3. 如圖，在δafd和δceb中，點a、e、f、c在同一條直線上，有下面四個論斷：（1）ad=cb,(2)af=ce,(3) ∠b=∠d ,(4) ad∥bc.
請用其中三個條件，餘下乙個作為結論，編一道數學題並寫出解答過程.
例4. 如圖，已知：.
求證：.
例5. 如圖，兩條直線ac,bd相交於o，bo=do,ao=co，直線ef過點o且分別交ab、cd於點e,f，求證：oe=of
例6. 如圖，已知：，.
求證：點b是線段ac的中點.
例7.如圖，已知：，，，直線dc過e點交ad於d，交bc於c.
求證：.
提公升練習：
1、如圖，已知：，.求證：.
2. 如圖，已知： ad為的高，且，f為ad上一點，鏈結bf並延長交ac於e，. 求證：
3. 如圖所示：在△abc和△dbc中，∠acb=∠dbc=,e是bc的中點，ef⊥ab,垂足為f，且ab=de.
（1）求證：bd=bc; （2）若bd=8cm，求ac的長.
4. 如圖，在△abc中，ac⊥bc,ac=bc,d為ab上一點，af⊥cd交cd的延長線於f，be⊥cd於e.求證：ef=be—af
4、「hl」
例1. 如圖，已知ab=cd，de⊥ac,bf⊥ac,de=bf，求證：ab∥cd.
例2. 如圖，△abc中，點d、e分別是ab、ac邊上的點，bd=ce，df⊥bc於點f,eg⊥bc,於點g，且df=eg.求證：be=cd.
例3．如圖，ab=ac,點d、e分別在ac、ab上，ag⊥bd,af⊥ce,垂足分別為g、f，且ag=af. 求證：ad=ae.
【拓展提公升】
1. 已知，如圖，△abc和都是銳角三角形，cd、分別是高，且, ,.求證：△abc ≌.
2、如果△abc和都是鈍角三角形，其餘條件不變，結論：「△abc ≌」還成立嗎？
3、如圖，已知：,.
求證：點b是線段ac的中點.
型別3. 三角形全等的應用：
1、 角平分線的應用
例1．如圖，已知：ad是的角平分線，de、df分別是和的高.
求證：.
例2．已知：如圖，bd是的平分線，，p在bd上，，.
求證：.
例3．如圖，已知：在中ad是的平分線，於e，於f.
求證：2、中線的應用
[例1] 已知，在△abc中，ad為bc邊上的中線，求證：ab+ac＞2ad
[例2] 在△abc中，ab=ac，∠abc=∠acb，ce是ab邊上的中線，延長ab到d，使bd=ab，求證：cd=2ce
[例3] 如圖，am為△abc的中線，ae⊥ab，af⊥ac，且ae=ab，af=ac，ma的延長線交ef於點p，求證：ap⊥ef
例4、求證：三角形的一邊的兩個端點到這邊的中線或中線的延長線的距離相等。
3、（「截長法」或「補短法」）
已知：在中，，ad是的平分線。求證：。
五、中考連線
1.（2007北京中考） 如圖，已知
（1）請你在邊上分別取兩點、（的中點除
外），鏈結、，寫出使此圖中只存在兩對面
積相等的三角形的相應條件，並表示出面積相等的
三角形；
（2）請你根據使（1）成立的相應條件，證明.
鞏固練習：
1. 如圖，已知：求證：.
2. 如圖，已知：求證：.
3. 如圖，已知：d、e是bc上的兩點，且求證：.
4．已知：在中，m在bc上，d
在am上，（如圖）求證：
6.已知：（如圖）. 求證：
7. 如圖，已知：，直線ae，bd相交於點c，，，交bd於f.求證：.
8、如圖，已知，，點e在ad上，be平分，ce平分。求證：。
全等三角形練習
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