一、本章知識內容歸納
1.概念:
①二次根式——形如的式子;當時有意義,當時無意義;
②最簡二次根式——根號中不含和的二次根式;
③同類二次根式的二次根式;
2.性質:①非負性; ②;
字母從根號中開出來時要帶絕對值
再根據具體情況判斷是否需要討論)
3.運算: 運算結果每一項都是最簡二次根式,且無可合併的同類二次根式.
①乘法和積的算術平方根可互相轉化:;
②除法和商的算術平方根可互相轉化:
③加減法:先化為最簡二次根式,然後合併同類二次根式;
④混合運算:有理式中的運算順序,運算律和乘法公式等仍然適用;
⑤乘法公式的推廣:
二、本章常用方法歸納
方法1.開方
①偶數次方:; ②奇數次方:
方法2.分母有理化:
①概念:分母有理化就是通過使得
其中叫做該分母的有理化因式;
②常用的有理化因式:
與、與、與互為有理化因式;
③分母有理化步驟:
先將二次根式盡量化簡,找分母最簡有理化因式;
將計算結果化為最簡二次根式的形式。
方法3. 非0的二次根式的倒數
①的倒數:(a>0); ②的倒數:(a>0, b>0);
③※因為
所以的倒數為
方法4. 利用「」外的因數化簡「」
三、本章典型題型歸納
(一)二次根式的概念和性質
1.x是怎樣的實數時,下列各式在實數範圍內有意義?
(1(2
(32.若x、y為實數,y=++3.則
3.根據下列條件,求字母x的取值範圍:
(1(2
(3)=1-x
(4)※=1
4.已知++=0.
則abc
5.已知,則
6.在實數範圍內因式分解:x4-4
7.已知a,b,c為三角形的三邊,
則8.若最簡二次根式與最簡二次根式可以合併,則的取值為
※9.已知a<0,化簡二次根式
※10.把根號外的因式移到根號內,得
(二)二次根式的運算
11.乘除法口算:
(1)=
(3)=
(5)=
(2)=
(4)=
(6)=
(7)=
(9)=
(11)=
(8)=
(10)=
(12)=
(13)=
(15)=
(14)=
12. 計算:(能簡算的要簡算)
(1). (2)+(-1)3-2×
(34)
(5) (6
(7)(8))
(9)-―+(a>0,b>0)
(10)
※(1112)
13. 若的整數部分是a,小數部分是b,則
14.在數軸上與表示的點的距離最近的整數點所表示的數是
15.若乙個正方體的長為,寬為,高為,則它的體積為 .
※16.的關係是
17.甲、乙兩人對題目「化簡並求值:,其中」有不同的解答:
甲的解答:,
乙的解答:。
誰的解答是錯誤的?為什麼?
※18. 先觀察下列分母有理化:, 從計算結果中找出規律,再利用這一規律計算下列式子的值:
19. 觀察下列各式的特點:
,,,……
(1)請根據以上規律填空
(2)請根據以上規律寫出第個不等式,並證明你的結論.
※(3)計算下列算式:
=(三)二次根式的化簡求值
20.若,求的值。
21.若求的值。
22.已知,求的值。
23.已知,,求下列各式的近似值(精確到0.01):
(12); (3).
(四)二次根式的比較大小
24.比較下列個數的大小
(1)3與(平方法2)-5與-6(被開方數)
(3)與(分母有理化)
(4)-與-(倒數法)
(5)與(設引數比較)
(6) 與(分子有理化)
(7)已知:是正數,求證:
(五)二次根式的應用
25.在交通事故的處理中,交通警察往往用公式來判斷該車是否超速,其中表示車速(單位km/s),表示剎車後車輪劃過的距離(單位:),表示摩擦係數;某日,在一段限速60km/s的公路上,發生了一起兩車追尾的事故,警察趕到後,經過測量,得出其中一輛車的,,請問該車超速了嗎?
26.我們人體含有多少脂肪才算適當?據科學研究表明,可以利用身體的體重(,單位:千克)和身高(,單位:
公尺)來計算身體脂肪水平,也稱為身體質量指數(bmi).計算公式是bmi=,而且男性的bmi指數範圍是24~27,如果一位男生體重是70千克,身體脂肪屬於正常,那麼請你估計他的身高大約在哪個範圍內?(精確到0.
01公尺).
27.談祥柏是中國人民解放軍軍醫大學數學教授,有一次他將我國近代著名作家徐志摩《再別康橋》中的兩句組成了如下的等式組:
,這裡相同的漢字表示0,1,……,9中相同的數字,不同的漢字表示不同數字,你能利用所學知識破解它嗎?
28.某人用一架不等臂天平稱一塊鐵的質量,把鐵塊放在天平左盤時,稱得它的質量為300克;把鐵塊放在天平右盤時,稱得它的質量為900克,利用所學知識,求這塊鐵的實際質量
29.有一塊木板,如圖,請你把它切成三塊,
然後拼成乙個正方形的桌面。
30.設等腰三角形的腰長為a,底邊長為b,底邊上的高為h.
(1)如果a=2,b=,求h; (2)如果b=,h=2,求a.
31.某市為方便相距2km的a、b兩處居民區的交往,修築一條筆直的公路(如圖:ab),經測量,在a處的北偏東60°方向,b處北偏西45°方向的c處有一半徑為0.
7km的圓形公園,問計畫修築的公路會不會穿過公園?請說明理由。
※32.設三所學校a,b,c分別位於乙個等邊三角形的三個頂點處,現值網路時代,要在三個學校之間鋪設通訊電纜,小張同學設計了三種連線方案,如圖所示,方案甲:ab+bc;方案乙:ad+bc(d為bc中點);方案丙:
ao+bo+co(o為三角形三條高的交點),請你幫助計算一下哪種方案線路最短?
※33.一艘漁船正以30海浬/時的速度由西向東追趕魚群,在a處看見小島c在船的北偏東60°方向,40分鐘後,漁船行至b處,此時看見小島c在船的北偏東30°方向,已知以小島c為中心周圍10海浬以內為我軍飛彈部隊軍事演習的著彈危險區,問這艘漁船繼續向東追趕魚群,是否有進入危險區域的可能?
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