【基礎知識鞏固】
一、 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被開放數可以是數，也可以是單項式、多項式、分式等代數式，但必須注意：因為負數沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
二、取值範圍
1. 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當a≧0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數大於或等於零即可。
2. 二次根式無意義的條件：因負數沒有算術平方根，所以當a﹤0時，沒有意義。
三、二次根式（）的非負性
（）表示a的算術平方根，也就是說，（）是乙個非負數，即0（）。
注：因為二次根式（）表示a的算術平方根，而正數的算術平方根是正數，0的算術平方根是0，所以非負數（）的算術平方根是非負數，即0（），這個性質也就是非負數的算術平方根的性質，和絕對值、偶次方類似。這個性質在解答題目時應用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。
四、二次根式（）的性質：乙個非負數的算術平方根的平方等於這個非負數。
（）注：二次根式的性質公式（）是逆用平方根的定義得出的結論。上面的公式也可以反過來應用：若，則，如：，.
五、二次根式的性質：乙個數的平方的算術平方根等於這個數的絕對值。
1、化簡時，一定要弄明白被開方數的底數a是正數還是負數，若是正數或0，則等於a本身，即；若a是負數，則等於a的相反數-a,即；
2、中的a的取值範圍可以是任意實數，即不論a取何值，一定有意義；
3、化簡時，先將它化成，再根據絕對值的意義來進行化簡。
六、與的異同點
1、不同點：與表示的意義是不同的，表示乙個正數a的算術平方根的平方，而表示乙個實數a的平方的算術平方根；在中，而中a可以是正實數，0，負實數。但與都是非負數，即，。
因而它的運算的結果是有差別的，，而
2、相同點：當被開方數都是非負數，即時，=；時，無意義，而.
七、二次根式的運算
1、最簡二次根式必須滿足以下兩個條件
（1）被開方數不含分母，即被開方的因式必須是整式；
（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，即被開方數中每乙個因數或因式的指數都是1.
2、乘法法則：=·（a≥0，b≥0）；積的算術平方根的性質即乘法法則的逆用.
3、除法法則： （b≥0，a>0）；商的算術平方根的性質即除法法則的逆用.
4、合併同類項的法則：係數相加減，字母的指數不變.
5、二次根式的加減
（1）二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數相同的二次根式進行合併。
（2）步驟：如果有括號，根據去括號的法則去掉括號；把不是最簡二次根式的二次根式化簡；合併被開方數相同的二次根式。
6、混合運算：與有理數的運算一致，先乘方開方，再乘除，最後加減，有括號先算括號裡面。
有理數的加法交換律、結合律，乘法交換律及結合律，乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用於二次根式的運算．
二次根式有意義的條件：例1：求下列各式有意義的所有x的取值範圍。
解：（1）要使有意義，必須，由得，
當時，式子在實數範圍內有意義。
（2）要使有意義，必須
的範圍內。
當時，式子在實數範圍內有意義。
小練習：1、（1）當x是多少時，在實數範圍內有意義？
（2）當x是多少時， +在實數範圍內有意義？②
（3）當x是多少時， +x2在實數範圍內有意義？
（4）當時，有意義。
2. 使式子有意義的未知數x有（ ）個．
a．0 b．1 c．2 d．無數
3．已知y=++5，求的值．
4．若+有意義，則=_______．
5. 若有意義，則的取值範圍是
最簡二次根式例2：把下列各根式化為最簡二次根式：
解：同類根式：例3：判斷下列各組根式是否是同類根式：
分析：幾個二次根式化成最簡二次根式以後，如果被開方數相同，那麼這幾個二次根式就叫做同類二次根式，所以判斷幾個二次根式是否為同類二次根式，首先要將其化為最簡二次根式。
解：分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化：
分析：把分母中的根號化去，叫做分母有理化，兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們說，這兩個代數式互為有理化因子，如與，均為有理化因式。
解：求值：例5：計算：
分析：迅速、準確地進行二次根式的加減乘除運算是本章的重點內容，必須掌握，要特別注意運算順序和有意識的使用運算律，尋求合理的運算步驟，得到正確的運算結果。
解： （1）原式
化簡：例6：化簡：
分析：應注意（1）式，（2），所以，可看作可利用乘法公式來進行化簡，使運算變得簡單。
解：例7：化簡練習：
解：化簡求值：
例8：已知： 求：的值。
分析：如果把a，b的值直接代入計算的計算都較為繁瑣，應另闢蹊徑，考慮到互為有理化因子可計算，然後將求值式子化為的形式。
解：小結：顯然上面的解法非常簡捷，在運算過程中我們必須注意尋求合理的運算途徑，提高運算能力。類似的解法在許多問題中有廣泛的應用，大家應有意識的總結和積累。
例9：在實數範圍內因式分解： [**:學*科*網z*x*x*k]
1、2x2－4；【提示】先提取2，再用平方差公式．【答案】 2（x＋）（x－）
2、x4－2x2－3．【提示】先將x2看成整體，利用x2＋px＋q＝（x＋a）（x＋b）其中a＋b＝p，ab＝q分解．再用平方差公式分解x2－3．【答案】（x2＋1）（x＋）（x－）．
例10、綜合應用：
如圖所示的rt△abc中，∠b=90°，點p從點b開始沿ba邊以1厘公尺/秒的速度向點a移動；同時，點q也從點b開始沿bc邊以2厘公尺/秒的速度向點c移動．問：幾秒後△pbq的面積為35平方厘公尺？pq的距離是多少厘公尺？
（結果用最簡二次根式表示）
一、選擇題：在以下所給出的四個選擇支中，只有乙個是正確的。
1、成立的條件是：
a． b． c． d．
2、把化成最簡二次根式，結果為：
a． bcd．
3、下列根式中，最簡二次根式為：
a． b． cd．
4、已知t<1，化簡得：
a． bc．2d．0
5、下列各式中，正確的是：
ab．cd．6、下列命題中假命題是：
a．設 b．設
c．設d．設
7、與是同類根式的是：
a． b． c． d．
8、下列各式中正確的是：
ab．c． d．
三、1、化簡
2、已知： 求：
【答案】：
一、選擇題：
1、b 2、c 3、b 4、d 5、b
6、c 7、d 8、d 9、c 10、b
二、計算：
三、二次根式測試題（一）
1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）
a． b． c． d．
2．若，則（ ）
a．b>3 b．b<3 c．b≥3 d．b≤3
3．若有意義，則m能取的最小整數值是（ ）
a．m=0 b．m=1 c．m=2 d．m=3
4．若x<0，則的結果是（ ）
a．0 b．—2 c．0或—2 d．2
5．下列二次根式中屬於最簡二次根式的是（ ）
a． b． c． d．
6．如果，那麼（ ）
a．x≥0 b．x≥6 c．0≤x≤6 d．x為一切實數
7．小明的作業本上有以下四題：①；②；
③；④。做錯的題是（ ）
a．① b．② c．③ d．④
8．化簡的結果為（ ）a． b． c． d．
9．若最簡二次根式的被開方數相同，則a的值為（ ）
a． bc．a=1 d．a= —1
10．化簡得（ ）a．—2 b． c．2 d．
1112．二次根式有意義的條件是 。
13．若m<0，則
14．成立的條件是
15．比較大小
1617．計算
18．的關係是
19．若，則的值為
20．化簡的結果是
21．求使下列各式有意義的字母的取值範圍：
（1234）
22．化簡：（1） （2） （3） （4）
23．計算：（123）
（4） （56）
24．若x，y是實數，且，求的值。
二次根式（一）
1．c 2．d 3．b 4．d 5．a 6．b 7．d 8．c 9．c 10．a
11．①0.3 ② 12．x≥0且x≠9 13．—m 14．x≥1 15．<
16． 18 17． 18．相等 19．1 20．
21．（1） （2） （3）全體實數 （4）
22．解：（1）原式=；（2）原式=；
（3）原式=；（4）原式=。
23．解：（1）原式=49×；（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=；
（5）原式=；（6）原式=。
24．解：∵x—1≥0, 1—x≥0,∴x=1，∴y<.∴=.
《二次根式》 全 知識點帶習題及答案
一 本節學習指導 學習二次根式時，我們把平方根的知識順帶鞏固一下。這就是系統性學習，這樣學習的好處是把零碎的知識可以系統起來。本節中我們要對二次根式有意義的條件要掌握。本節知識適當做練習題即可掌握，本節有配套免費學習 二 知識要點 1 二次根式的概念 形如 a 0 的式子叫做二次根式。注意 在二次根...
二次根式知識點總結
基礎訓練 1 化簡 123 45 2.化簡 3.計算的結果是 2224 4.化簡 1 的結果是2 的結果是 34 08，黃岡 5 2 5 56 785 08，重慶 計算的結果是 a 6bc 2d 6 的倒數是 7.下列計算正確的是 a b c d 8.下列運算正確的是 a b c d 9 已知等邊三...
二次根式知識點總結及練習
二次根式複習 知識回顧 1.二次根式 式子 0 叫做二次根式。2.最簡二次根式 必須同時滿足下列條件 被開方數中不含開方開的盡的因數或因式 被開方數中不含分母 分母中不含根式。3.同類二次根式 二次根式化成最簡二次根式後，若被開方數相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式。4.二次根式的性質 1 2 ...