應用函式思想解題的幾點體會
——傅施均
傳道解惑，做老師的為學生解題、講題，時不時總要闡述解題的方法和數學的思想，所謂「授之以魚，不如授之以漁」；多年的教學經驗慢慢形成了個人的數學解題思想，反過來數學的思想指引著解題的方向．
應用函式思想解題的函式思想，就是用運動與變化的觀點、集合與對應的思想去分析和研究問題中的數量關係，建立函式關係或建構函式，再運用函式的影象和性質去分析問題、轉化問題，從而解決問題；下面就函式思想的應用結合幾個典型例題來加以說明。
一 、函式思想解行程問題應用題
數學史上著名的「哈佛---紐約班輪相遇」問題，採用畫一次函式影象，數一數交點就輕鬆地解決了班輪幾次相遇的問題；由這個問題的解決方法啟發我們也可以來完成下面的問題解答．
例1 小林每天下午5點放學時，爸爸總是從家開車按時到達學校接他回家，有一天學校提前乙個小時放學，小林自己步行回家，在途中遇到開車來接他的爸爸，結果比平時早20分鐘到家，則小林步行________分鐘遇到來接他的爸爸．
解法一： 如圖，小林學校在a，家在b，下午4點他步行從a出發，與按時從b來接他的車相遇於c，結果汽車由c返回b比往常提前了20分鐘，表明汽車由c-a-c共需20分鐘，因此汽車由c到a需10分鐘，則汽車在4：50與小林相遇，即小林步行50分鐘遇到來接他的爸爸．
如果覺得以上的方法有點老套，那麼就讓我們看看下面應用函式思想的解法二：建立如圖所示的平面直角座標系，因為爸爸開車速度不變，因此△oab為等腰三角形，兩腰表示爸爸平時接小林的行程與時間影象，頂點處時間為小林平時放學時間；提前20分鐘的回家行程影象只要將腰ab向左平移20分鐘，交點c即為爸爸接到小林的地方，△acd相似△coa，即△acd亦為等腰三角形，由等腰三角形的三線合一性質得這次接小林時間與平時相差10分鐘，故由圖可得小林行走時間為50分鐘．
從以上兩種不同的解答方法可以看到，第二種解法對本題的解答比解法一來得更加直觀、形象，更容易讓學生理解．
二、函式思想解一元二次方程問題
例2 關於x的方程|x2-2x|=a 兩個不同的解，求a的取值。
當然只要我們對a的取值範圍進行討論，就可以解決上題，但往往工作量較大，且令人煩惱不己，有沒有更好的辦法了呢？當然有，我們可以用構圖法來解決。
設y1=|x2-2x|,y2=a,很顯然本題就轉變為當這兩個函式影象有兩個交點時a取什麼值的問題了；答案應該為a=0和a﹥1.
同時，如果本題目改為方程有三個解或四個解時求a取值範圍，我們只要把y2=a的圖象上下移一移就可輕鬆解答了．
三、函式思想證複雜不等式
建構函式解題解不等式在競賽數學題中使用較多，請看下列：
例3 已知 x、y、z都介於0與與1之間。求證：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)﹤1.
分析如下：待證的不等式中有三個字母x、y、z，可以把y、z看成是常量，而把x看作變數。從而把待證的不等式轉變為一次不等式，再轉化為一次函式問題，利用一次函式的性質完成證明.
證明設函式 y1=1-[x（1-y）+ y(1-z)+z(1-x)]=(y+z-1)x+(yz+1-y-z).
由於一次函式的影象是一條直線，
∵ 0﹤y﹤1, 0﹤z﹤1 ,
∴ 當x=0時，y1= yz+1-y-z=(1-y) (1-z)﹥0
當x=1時，y1=(y+z-1) +(yz+1-y-z)= yz﹥0
∴ 當 0﹤x﹤1時，y1﹥0
即 1-[x（1-y）+ y(1-z)+z(1-x)] ﹥0
∴ x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)﹤1.得證.
本題的證明過程中關鍵在於突出主變數，將其它字母當作常量，建構函式後，利用函式的有關性質解決問題，這種方法在初中競賽題中較為常用.
四、函式思想解綜合題
綜合題條件與知識點較多，關係錯綜複雜，如何將其簡單化、規範化處理往往是解題的關鍵.
例4 已知關於x的方程 mx2-14x-7=0 有兩個實數根x1和x2，關於y 的方程
有兩個實數根 y1 和 y2 ,且－2≤y1 當時，求m 的範圍.
解析：由關於y的方程
有兩個實數根，可得，
再根據已知條件可得出－2≤n－2同時由韋達定理得
代入得化簡後得
（注意：這個等式可以看成m關於 n的二次函式；那就可根據n 的範圍0≤n<4求 m 的範圍）
∵對稱軸 n＝－2 ， n＝2在0≤n<4 內，
所以m的最小值8，
∵當n=0時，m=－6； 當n＝4時，m最大值＝10.
∴由函式性質得m的取值範圍是－8≤m<10.
又 ∵關於x的方程mx2-14x-7=有兩個實數根x1和x2，則 △=142 -4m×(-7)≥ 0
∴ m≥－7 且m≠0
∴綜上所述m的取值範圍應是－7≤m<10 且m≠0.
本題其實就是應用函式性質，關鍵在於將問題轉化為二次函式問題，用已知一變數的取值範圍求出另乙個變數的取值範圍.
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