江蘇省蘇州中學劉華（215007）
在新課標教材中，「兩個基本計數原理」是高中數學選修2-3第1章「計數原理」的起始課，在原《大綱》版教材中，這個章節的標題是「排列、組合與二項式定理」，新課標教材的內容與原人教版教材是一致的，但新課標的理念卻有了很大的不同，如何在教學設計以及教學過程中充分展現新課程對數學教學的新要求？這使我在著手教學設計之時就面臨挑戰．
1. 如何處理教材
1.1目標定位
教材提供了教學的素材——原理、範例、練習（習題），如何將素材整合成乙個有機的教學內容？首先要分析教學內容在教材體系（乃至數學知識體系）中的地位，並確立教學的目標．
《課程標準》對本章的教學側重點做了界定：「計數問題是數學中的重要研究物件之一，分類加法計數原理、分步乘法計數原理是解決計數問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計數原理，它們為解決很多實際問題提供了思想和工具．[1]」這說明，本章的教學重點是兩個基本計數原理，而排列、組合、二項式定理則是兩個基本計數原理的應用例項．
根據上述分析，結合《課程標準》對本章的目標定位，我認為，「計數原理」這一章研究的物件是計數問題，研究的方法是「問題解決」，研究的過程是「建構方法」，在本課的學習過程中，師生將面對實際計數問題（可能是已加工過的）並加以解決，這一「問題解決」過程的目標是建構方法——兩個基本計數原理．因此，將本節課的教學目標擬定為：
1． 通過例項分析，讓學生自主建構分類加法計數原理和分步乘法計數原理，並弄清它們的區別．
2． 能初步運用分類加法計數原理和分步乘法計數原理分析和解決一些簡單的計數問題．
1.2重難點分析
對學生而言，「計數」是其學習數學的基本能力之一，簡單的計數問題，其解決方法就是「數」數，但複雜的問題呢？因此，要使學生意識到，只會機械地「數」是不夠的，必須從簡單的、已能解決的計數問題中，抽象出能夠解決一「類」問題的方法，並明確界定適用該方法的問題的「類」．由此可知，本節課教學的重點與難點為：
1． 本節課的重點是經歷對實際問題進行方法建構的過程，從而掌握解決實際計數問題的流程，即：→→→．
2． 本節課的難點是在具體問題解決中，區別使用計數原理．
1.3課題引入
由於本節課是本章的起始課，還承擔著本章引入的教學任務，通過本章引入，我們將帶領學生走進本章的數學學習，使學生明白本章的學習主體內容與學習任務，為學生創設良好的數學學習環境．
本章的引入採用了以下的問題（情境）：
● 問題情境1：擲一顆骰子，出現點數小於3的概率是多少？
● 問題情境2：中新社蘇州2023年12月31日電(天榮姚靜)記者今天從有關部門獲悉，截至目前，蘇州市城鄉機動車總數已達55.53萬輛， 比去年同期淨增10萬餘輛，平均每天新增300輛，成為近幾年來該市新增機動車數量最多的一年，全市機動車保有總量僅次於上海和北京．蘇州市汽車牌照形式為「蘇exxzzz」，其中「蘇e」為地區**，xx可以是數字與字母的組合，zzz是數字的組合，如果按此牌照方式編排，理論上汽車數量最多為多少？
● 問題情境3：下圖是某城市的街道．西北角是某同學的家，東南角是學校．從家經東西4條街，南北5條街到學校（最短距離），有幾種不同的走法？
通過以上的問題（情境）的引入，揭示本章的研究課題：
教學片斷：
師：先看乙個問題，擲一顆骰子出現點數小於3的概率是多少？
生齊：.
師：好!怎麼算的? 我請一位同學來回答。
生1：擲骰子一共有6種等可能的基本事件，然後小於3的有1和2（出現1或2點），那麼扔到1和2的概率就是。
師：謝謝，請坐！我們知道，古典概型中，a事件發生概率的計算公式是p(a)= 。那麼，現在我們的問題改為： m和n怎麼計算？
師：（我們發現）這個問題，本來是乙個概率問題，現在發現它轉化成乙個計數的問題了，那麼，如何計數呢？當然，這個問題很簡單，遇到複雜的問題我們怎麼樣來計數呢？
這就是我們今天要開始學習的新的一章——計數原理。
設計意圖：從古典概型中引入計數問題，設計思想是根據學生的最近發展區——學生已經學過了概率（古典概型），他們知道在古典概型中，計算乙個事件的概率可以用p(a)=來計算，而由n和m的計算就可以引入計數的問題。
師：（見ppt）這是一則新聞，講什麼呢？蘇州的汽車比較多，我們（蘇州）現在的機動車總數是55.
53萬輛，至少說目前路比較擠，你們騎自行車要讓著點。（問題是）什麼意思呢？我們現在的牌照是什麼樣子的？
蘇exxzzz…，蘇e是地區**，xx可以是數字或字母的組合，z是數字的組合。如果按此牌照方式編排，理論上蘇州汽車數量總量是多少？這是個什麼問題？
（生：是計數問題）
師：這裡有張圖，表示某城市的街道，西北角是同學的家，東南角是學校，那麼現在的問題是：從家裡經東西四條街南北五條街到學校，按照最短距離走的話，有幾種不同的走法？
師：（指著ppt）這是最短路線的一種（演示），它對應著這張圖（ppt）。有沒有其他的最短路線？誰上來比劃一下？
師：請這位同學上來，在圖上指出一條與原圖不同的最短路線！請！
（生2上來指出了一條最短路線。）
師：這也是最短路線是不是？（繼續問生2）好！你說他是怎麼經過了怎麼樣一種方式走的最短路線？
生2：（在最短路線中）他要麼往東面走，要麼往南面走，往東面走四格，往南面走三格（就能到了）。
師：好，謝謝你！請坐！
師：這個學生他往東（實際上就是往右）走四段，往南走三段就可以完成這件事，那麼，一共要走幾段？（停頓，讓學生思考）一共要走七段是不是就走到學校了？
那麼大學能否算出有幾種不同的走法？
師：這是乙個什麼樣的問題？
s齊：計數問題
師：我們組合學中一開始先研究計數問題，來看書，書上說「我們在社會生活的各個方面」，我還要再補充一句「我們在數學中實際上也要涉及到計數的問題」。
師：本章的問題就是利用怎樣的模型刻畫和解決計數問題。
設計意圖：這節課是高中數學新課程標準教科書選修2-3第一章《計數原理》的起始課，這節課除了要完成兩個基本計數原理（加法原理、乘法原理）的教學任務之外，還承擔著引領學生進入新的一章進行數學學習的作用。
1.4例習題處理
在本章引入完成後，進入「兩個基本計數原理」的教學環節，為了通過例項建構方法，本課採用了以下的問題（情境）：
1． （課例延用）行程方法計數問題．
（1）如圖（1），從甲地到乙地有3條公路、2條鐵路，某人要從甲地到乙地．共有多少種不同的方法？
（2）如圖（2），從甲地到乙地有3條道路．從乙地到內地有2條道路．那麼從甲地經乙地到丙地共有多少種不同的方法？
● 上述兩個問題有什麼區別？
● 由這兩個問題分別可以得到怎樣的數學模型？
2． （自編新例）擲骰子計數問題．
● （1）擲一顆骰子兩次，出現點數之和小於5的情況有多少種？
● （2）擲一顆骰子兩次，共可出現多少種情況？
其中，「擲骰子計數」問題的創設很好地呼應了「從古典概型中引入計數問題」的過程，也使學生明白數學知識之間的聯絡，雖然教學使用的是線性的順序，但數學知識體系本身是「網狀」的，古典概型問題的真正解決，依賴於計數方法．
通過以上計數問題建構出兩個基本原理後，在教學中使用了以下的例題與練習，並提出了拓展思考題：
1． （課例延用）從兩個不同群體中①選一名代表，②各選一名代表，有多少種不同的方法？
例1 某班共有男生28名、女生20名，從該班選出學生代表參加校學代會．
（1）若學校分配給該班1名代表，有多少種不同的選法？
（2）若學校分配給該班2名代表，且男、女生代表各1名，有多少種不同的選法？
2． （補充題組）
（1）滿足x + y ≤5的有序正整數組(x,y)共有多少組？
（2）集合的二元子集有多少個？
（3）集合的子集有多少個？
3． （課內練習）課後練習題2題．
（1）手錶廠為了**更多新穎款式的手錶，為統一的機芯設計了4種形狀的外殼、2種顏色的表面及3種形式的數字，問：共有幾種不同的款式？
（2）如圖，從甲地到乙地有3條公路可走，從乙地到丙地有2條公路可走，又從甲地不經過乙地到丙地有2條水路可走．
①從甲地經乙地到丙地有多少種不同的走法？
②從甲地到丙地共有多少種不同的走法？
4． （課後·拓展思考）
已知集合m=，p=．
（1）以m為定義域，p為值域的不同函式有幾個？
（2）從m到p不同的對映有多少個？
2. 如何引導學生
2.1學情及知識準備的分析
由於是在外校借班上課，雖然事先也有過對學生情況的側面了解，班主任也特地準備了乙份名單，但是，實際上我對學生原有的數學學習能力還是一無所知．我必須將「入門」的起點「放低」，並通過課堂教學中學習的即時反饋，生成完整的教學過程．
從學生的知識準備來看，由於在數學必修3中已學習過概率（古典概型），而且當時也有過爭議——不學排列組合，怎麼解決古典概型？現在看來，《課程標準》所倡導的是知識與技能的「螺旋式上公升」，我要做的就是建立起兩者之間的聯絡，因此，我計畫從乙個古典概型問題引出計數問題，找準學生的「最近發展區」來組織教學．
2.2突破難點
「計數」幾乎是人類一種「天生」的能力，對於簡單的計數問題，最常用的方法就是「數」．計數原理這一章的存在，不是要讓學生掌握一種新的技能，而是要發展學生這種「與生俱來」的能力，使之能合理地應用於複雜的計數問題．當然，在問題解決的過程中，學生需要不斷地歸納、總結，形成解決計數問題的方法和技能．
按以往的教學經驗，本節課的難點是在解題中區別所使用的基本計數原理．學生在面對問題時，往往不知是使用哪個原理，他們會嘗試著先用分類加法計數原理（或分步乘法計數原理），然後看教師的反應（反饋），有時教師乙個皺眉，就會讓學生意識到在原理的選用上產生了謬誤，從而改用另乙個（原理）；而教師在面對學生的錯誤時，也常常會「斷喝」——「想一想，到底是『分類』，還是『分步』？」——這會給學生乙個強烈的暗示：「我的方法選擇錯了」．
在這種教學模式下，學生是否能真正地掌握兩個基本計數原理呢？答案是否定的，我們常常看到，學生在教師的「幫助」下（通常我們認可這種幫助是善意的），解決課堂上的計數問題沒有困難，可一旦自主面對問題，就往往會陷入兩難：「到底是『分類』、還是『分步』？
」．從歷年高考對排列、組合問題的考查結果分析中發現，這類問題的得分情況並不理想，原因可能就在於學生對於「模式套代」的依賴過強，並沒有能真正掌握計數原理的實質．
兩個基本計數原理的教學反思
兩個計數原理與排列 組合 1.分類加法計數原理 也稱加法原理 n m1 m2 mn 2.分步乘法計數原理 也稱乘法原理 n m1 m2 mn 3.排列的定義 從n個不同元素中，任取m m n 個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的乙個排列 組合的定義 從n個不同的元素中，...
聚焦兩個基本計數原理
江蘇劉小花 一要點梳理 1分類計數原理 完成一件事，有類方式，在第1類方式中有種不同的方法，在第2類方式中有種不同的方法 在第類方式中有種不同的方法，那麼完成這件事共有種不同的方法 說明 1運用分類計數原理時，首先要根據問題的特點，確定分類的標準，分類應滿足 完成一件事的任何一種方法，必屬於某一類且...
兩個鐵球同時著地教學設計及反思
25 兩個鐵球同時著地 課型 新授授課日期 5.20 5.23 總課時數66 67 第一課時 教學目標 1 認識3個生字，會寫12個生字。能根據上下文理解 信奉 固執 膽大妄為 等重點詞語的意思。2 有感情地朗讀課文。3 了解兩個鐵球同時著地的實驗過程。教學重點 認識3個生字，會寫12個生字。能根據...