壽陽縣平頭鎮中學崔海軍
反思是指學生自覺地對數學認知活動進行觀察、分析、總結、評價、調節的過程。引導學生反思能促使他們從新角度，多層次、多側面地對問題及解決問題的思維過程進行全面的考察、分析與思考，從而深化對問題的理解，揭示問題本質，探索一般規律，獲得新的發現。通過反思可以提高學生的數學意識，優化思維品質；可以拓寬思路，優化解法，完善思維過程；通過反思可以深化對知識的理解，使學生的學習活動成為一種有目標有策略的主動行為，從而提高學習效率。
下面就結合自身的教學實踐，就如何開展反思教學進行一些**，希望能引起同行重視教學中的反思。
一、反思是牢固掌握概念、公式、定理，及靈活應用的重要環節
在平時的數學教學中，不少老師經常會發出這樣的感慨：對一些數學概念、定理、公式的教學，反來復去地講解和訓練，感覺學生懂了，但一應用起來多數學生還是存在問題。究其原因：
主要是在教學中，教師往往對這些知識的講解上下了工夫，注重培養學生思維的邏輯性和嚴謹性，而忽視了學生接受知識的層次性。強制性地把新知識注入學生頭腦，學生的學習非常被動，使思維呈依賴性。學生對這些知識的學習往往知其然而不知所以然，無法達到有意義，有成效的理解和靈活應用。
因此，教師在教學中除了要引導學生積極參與概念、定理、公式的形成過程外，還應引導學生運用已有的知識、經驗、方法對所學內容進行全方位的反思，才能深刻理解其內涵和外延，揭示其本質，從而達到靈活、有效的運用。
舉例1，在學習方差概念時，經常有這樣的題目：甲、乙兩人參加射擊選拔比賽，各打十槍，計算這兩組資料的方差，如甲方差較小，則甲發揮的更穩定，那麼是不是甲的成績就越好呢？
學生經常把方差越小時的「穩定」與「好」等同起來，錯誤地認為方差越小成績就越好。對方差的概念進一步的理解就知：方差是反映一組資料的波動大小，這個「波動」必須是相對某個標準（一般是平均數）而言的，是指在這個平均數上下的波動大小。
很顯然在上例中，平均數大，方差越小，則成績越好。如方差小，平均數也較小，則不僅說明整體成績差，而且還說明這個運動員沒有什麼潛力。
對方差概念的進一步反思：再追問現實生活中有沒有方差越大越好的情況呢？如現在的公司為了**，推銷員的收入直接和他的銷售量掛鉤，實行多勞多得的制度。
那麼所有推銷員收入的方差越大，則說明推銷員間的收入差距較大，就說明這種制度能充分調動推銷員的積極性，符合多勞多得，少勞少得，不勞不得的時代特徵。由此經過多角度、多側面的反思，學生對方差的概念有更全面、深入的了解。
舉例2，學習整式乘法的平方差公式時，不少學生往往只記住公式，掌握最基本的用法，缺乏對公式特徵較深入的了解，難以靈活運用公式。如計算： （2x－3y）(﹣2x－3y) ，部分學生就直接運用平方差公式，結果出現這樣的錯誤：
（2x－3y）(﹣2x－3y) = ﹣（2x）2 －(3y) 2 。分析出錯的原因主要是對平方差公式的特徵沒有準確的把握，弄錯了原題中的項和平方差公式（a+b） (a－b) = a 2－b 2中a、b的對應關係。教學中應引導學生對公式特徵進行分析：
兩個完全相同的項對應公式中的a ，互為相反的項對應公式中的b ，注意a、b的位置是a前b後，結果是a 2－b 2。因此，上例中相乘的兩個多項式中的﹣3y完全相同，對應公式中的a ，而前後兩項中的2x和﹣2x互為相反數，2x對應公式中的b 。易轉化得到（2x－3y）(﹣2x－3y) = （﹣3y + 2x）(﹣3y－2x) =（﹣3y）2 －(2x) 2 。
再如運用平方差公式計算：（a－b－c）(﹣a－b+c) ，很多學生覺得比較困難。再對平方差公式特徵進一步延伸、反思會發現：
比較相乘的兩多項式，把完全相同的項放在一起作為a ，放在前面，相反的項再放在一起，放在後面，轉化成標準的平方差公式。這樣，原式中前後完全相同的項是﹣b，作為公式中的a ，而前後兩項中的a和﹣a，﹣ c和 c互為相反，放在一起，作為乙個整體，放在後面對應公式中的b。因此，不難得出：
（a－b－c）(﹣a－b+c) = [（﹣b）+（a － c）][（﹣b）－（ a－c）]
b）2 －（ a－c）2
當兩個四項式相乘，符合這樣的規律時，也能迅速按照平方差公式的特徵，組合，轉化成標準的平方差公式，從而達到簡便運算的目的。由此，經過對平方差公式的深入的反思、總結，使學生對公式有更深的了解，從而能靈活、準確地運用公式。
二、反思是高效的學習方法
現在越來越多的教育家認為：教師的教學不僅是「教」，更重要的是指導學生有個良好的學習方法。而好的學習方法應該是符合學生認知規律的科學的學習方式方法，能夠使學生更有效的掌握所學的知識，並能靈活運用所學的知識解決一些實際問題。
數學學習的過程，無論是對新知的**，還是對所學知識的運用，都要求有高度的思維活動，而反思正是思維活動的主要體現。因此，在數學教學中，教師要引導學生對各個教學環節進行全面的反思，通過反思，能挖掘新舊知識之間的內在聯絡，提高對知識理解的程度，幫助學生建立合理的知識結構和體系，從而能極大地提高學生的學習效率。
如學完某一單元後，要引導學生對這一章的內容進行反思：這一章主要研究了那些問題？各知識點間有什麼聯絡？
重點是什麼？用了那些數學思想和方法？與以前的內容有什麼聯絡？
知識主要應用在哪等。通過反思，使知識更加系統化，學生能更有效地掌握和運用知識。
舉例3，在學習《平行四邊形》這章時，平行四邊形，矩形，菱形，正方形的性質和判定有什麼聯絡？學好這部分內容的關鍵是什麼？
引導學生對它們的關係進行深入的反思會發現：矩形和菱形是特殊的平行四邊形，而正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。掌握矩形和菱形的兩個特有的性質是學好這部分內容的關鍵。
如學習矩形的性質，首先平行四邊形具有的性質，矩形都具有，再加上矩形特有的兩條性質：一是乙個角是直角（則四個角都是直角），二是對角線相等；學習菱形的性質，同樣平行四邊形具有的性質，菱形都具有，再加上菱形特有的兩條性質：一是一組鄰邊相等（則四條邊都相等），二是對角線互相垂直，且平分每一組內角；正方形的性質，很顯然平行四邊形，矩形，菱形具備的所有性質正方形都具有。
矩形，菱形，正方形的判定是個難點，但只要理清它們的關係，抓住矩形，菱形特有的這兩點，就變的較簡單。如矩形的判定，首先證明四邊形是個平行四邊形，再加上矩形特有的這兩點中的任意一點即可，如對角線相等的平行四邊形是矩形等；學習菱形的判定，同樣首先證明四邊形是個平行四邊形，再加上菱形特有的這兩點中的任意一點即可，如一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；正方形的判定，則既要證明四邊形是矩形，又要證明它是菱形。具體應用時，要麼先證明它是個矩形，再把菱形特有的兩點中的任意一點加上即可，如對角線互相垂直的矩形是正方形；要麼先證明它是個菱形，再把矩形特有的兩點中的任意一點加上即可，如對角線相等的菱形是正方形。
由此，通過對這部分知識的較全面、深入的反思，就能抓住知識間的聯絡，使解決問題更有針對性，大大地提高了學習效率。
三、 反思是提高解題能力的有效途徑
在平時的解題教學中，不少老師往往怕學生走彎路，浪費時間，於是將經過處理的規律性問題和現成的解法、解題技巧直接灌輸給學生，感覺學生聽懂了，題目也會做了，但題目稍作變化，學生就感覺有困難。分析這一現象，很重要的原因之一就是教師缺乏指導學生對學習活動，解題過程進行深入、有效的反思。由於缺乏解題後的反思，學生往往只會對現成的解題過程生搬硬套，沒有概括出普遍適用的解題思路和方法，學生的解題能力沒有得到根本提高。
因此，在解題教學中，學生做完一道題後，要引導他們進行及時、深入的反思，這不僅是簡單的回顧和總結，而是引導學生根據問題的結構特點，從解題思路，解題方法，解題途徑進行多角度的反思。如反思解題過程中出現錯誤的原因：是審題不清？
還是知識性錯誤？還是方法錯誤？提出改進措施；如解題後要反思解題過程和思路，有沒有更簡捷，更巧妙的解題方法？
題目的條件和結論經常有那些變化？如何應答？總結解某一類題的一般規律，形成正確的解題思路等
舉例4，若代數式4x2＋2mx＋16是個完全平方式，求m的值.
常見的錯解由4x2＋2mx＋16 = （2x）2＋2mx＋42
則 2m = 2×2×4
m = 8
分析上面的漏解在於對完全平方式的特徵了解不夠深入、全面，沒有注意到完全平方式a2±2ab＋b2 的中間項可以為正，也可為負。
正確的解應是 2m = ±2×2×4
m =± 8
上題中，在反思解題出錯的原因，總結如何處理後，可引導學生進一步的反思有沒有其它好的解題方法。聯想到一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）有兩個相等的實數根，則方程的左邊ax2＋bx＋c必是個完全平方式。因此，本題可設 4x2＋2mx＋16 = 0，則4x2＋2mx＋16是個完全平方式，方程有兩個相等的實數根，故△ = (2m)2－4×4×16 = 0,直接解得m =± 8，不會出現漏解的情況。
再如，填上合適的一項，使多項式9x2－30xy＋ 是個完全平方式，常見的方法是對照完全平方式a2－2ab＋b2進行轉化，9x2－30xy = (3x)2－2·3x·5y,找到對應的b = 5y，因此填 25y2，這種解法不少同學感到較困難。對上面第二種解題方法的進一步反思，本題有更好的解法。可設9x2－30xy＋p = 0，要9x2－30xy＋p是個完全平方式，則關於x的方程9x2－30xy＋p= 0有兩個相等的實數根，故△ = （－30y）2－4×9p = 0，直接解得p = 25y2。
由此，通過反思開闊了解題思路和方法，能夠創造性地運用知識解決一些問題。
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