1. 情境再現
記得在筆者在複習「函式奇偶性」時,曾提到這麼一道題:判斷的奇偶性。居然乎全班有1/3的學生說是乙個非奇非偶函式。
關於判斷函式奇偶性粗心的，知識點掌握不牢固的學生的確容易犯這種錯誤。他們往往流於表面形式，只要根據奇偶性的定義檢驗成立即可，而忽視了考慮函式定義域的問題。幾年的教學生涯告訴我，雖然「函式奇偶性」這一塊知識點並不是很難理解，掌握，但每每講到這兒總有許多學生要犯這樣或那樣的錯誤。
究其原因，問題到底出在哪兒呢？
2．錯因反思
函式的奇偶性是函式的重要性質之一。高中教材對奇偶函式的性質與判別介紹比較簡單。但是如果要使學生能正確理解函式的奇偶性及其差別，教師不僅對奇偶性的定義要講透徹，宜對其性質與判別也可作適當的學深入。
高中教材對函式奇偶性是這樣定義的：
一般地,對於函式,如果對於函式定義域內任意乙個,都有,則函式叫做奇函式;如果對於函式定義域內任意乙個,都有,則函式叫做偶函式。
這種定義方法，對奇偶函式的定義域的特性沒有明顯的揭示，容易使學生出現這樣的錯誤：即不管函式的定義域如何，只要形式上有,就是奇函式；只要，就是偶函式。因此不少學生就是這樣得出了是非奇非偶函式的錯誤判斷。
學生之所以會犯這樣式的錯誤，這與平時教師的教學有相當大的關係，有些教師本身就對知識點的理解不透視，再加之落實的力度有夠，只流於形式。因此教師必須不斷反思，精心設計，才能找出數學知識螺旋式上公升的台階，搭建合理的「腳手架」，做到對教學內容，教學目標的準確把握。
三、解決方法：
因此，在介紹奇、偶函式的定義時，一定要揭示定義的隱含條件，從正反兩方面講清定義的內涵和外延。
1、 定義表述中的的任意性，實質上隱含了，都應屬於奇函式或偶函式的定義域，因而不論函式是奇函式還是偶函式，其定義域在數軸上必關於原點對稱，這是函式是奇函式或是偶函式的必要條件。否則函式既非奇函式，也非偶函式。
2、 在函式的定義域是關於原點對稱的這一前提條件下，若，則函式是奇函式，若，則是偶函式；若且，則是非奇非偶函式。
3、 奇、偶函式的定義域並不限於對稱區間，也可以是關於原點對稱的區間的並集，還可以是對稱於原點的離散點集，如等。
4、 由定義可知，函式的奇偶性反映的是函式的整體性質。
所以，筆者以為：函式奇偶性雖然算不上難點，但要使學生正確地理解函式的奇偶性及其差別必須要講得透視，而且要充分發揮學生的主動性，充分挖掘他們的認知習慣。如果我們教師平時在對待課堂教學上能準確的把握知識點，在知識點的落實上能狠下功夫，或許學生的這種錯誤會越來越少。
下面是筆者對「函式奇偶性」這節課的設想，僅供參考。
一、 引入新課
⑴ 已知，求
⑵ 已知，求
生甲： 。
生乙：。
師：從上面兩題的結果，我們可以得到什麼啟示呢？
師：當自變數互為反數時，兩函式值之間有何關係？
生：，師：對！我們還必須注意到：
剛才所說的兩個等式，是對函式定義域內任意乙個x（不是某些x）而言的。這裡函式與的定義域分別是r, (即為非零實數)。這是函式關係中乙個很重要的性質。
由它就可從自變數取正值時函式的變化情況推斷出函式在整個定義域內的變化情況。具有這一性質的函式，當然不止這兩個。因此有必要對這類函式作進一步的討論。
[對學生來說，函式的奇偶性，是乙個比較陌生的概念，不像單調性那樣已早有所各，為使學生對這一概念的引進不感到突然，安排了兩個板演題，引導他們發現這一性質，以便自然地給出概念。這也是對學生觀察、分析、歸納能力的一種培養。選取函式，是為了使學生認識到奇偶函式的定義域不侷限於r，也不侷限於乙個區間，以防止學生在認識上產生片面性。
]二、 給出定義
師：這就是今天這一節課的內容。
[彩色粉筆板書課題：「函式的奇偶性」。接著，掛上事先寫好的關於函式奇偶性的定義的小黑板，並請口齒清楚、聲音巨集亮的學郎讀一遍，教師輕輕一同隨讀。]
師：前面的函式與，就奇偶性來說，分別是什麼函式？
生：是偶數，奇函式。
師：對！顯然，反過來，如果函式是奇函式，那麼對於函式定義域內任意乙個，都有；如果函式是偶函式，那麼對於函式定義域內任意乙個都有。
[在這裡提一下：「顯然，反過來┉┉」這一段話，既是加深學生奇偶性概念的理解，也是使學生明確：作為定義，它具有純粹性、完備性兩個方面的意義。]
師：如何來判斷乙個函式是不是奇（偶）函式，即函式奇偶性的基本特徵是什麼？
生：基本特徵：等式或是否成立？
師：很好！基本特徵是判斷乙個函式是不是奇（偶）函式的主要依據，但必須注意，等式是不是對定義域m內有某個，滿足或，那麼就不是奇偶函式。
[新的概念給後，讓學生講講它們的特徵，有助於學生深入理解和掌握概念，有助於培養學生分析概括的能力。]
三、 舉例鞏固
師：（出示小黑板）
判斷下列函式是否具有奇偶性：
生:⑴是偶函式； ⑵是奇函式； ⑶既不是奇函式，也不是偶函式； ⑷是奇函式。
師：對嗎？
生：⑷中既不是奇函式，也不是偶函式。
師：對！但對於⑶，，為什麼不是奇函式呢？
生：因為僅當時，有，並非對於定義域內任意乙個都有。如，因此不是奇函式，當然也不是偶函式。
師：有道理！事實上，我們判斷乙個函式既不是奇函式又不是偶函式，只要在定義域內能找到乙個，使就可以了。
師：但對於⑷ ，，為什麼又不是奇函式呢？
生：因為對於函式，，但-1不在定義域內，不存在，談不上有，即並不是對於函式定義域內所有的值，都有成立，故不是奇函式，顯然也不是偶函式。
師：講得好！我們在判斷函式的奇偶函式時，要考慮對定義域內的任意乙個值，與的值是否同時存在。
實際上，就是考慮函式的定義域是否對稱於原點。可見定義域對稱於原點（原點可以不在內）是奇（偶）函式必須具備的條件。
[新概念給出後，舉幾個典型例子，特別上似是而非的例子讓學生判別，以理解概念的含義是十分必要的。這是四個小題，主要是讓學生初步了解判斷函式奇偶性的主法。對於學生在解答問題時出現的錯誤，可讓學生自己相互訂正，並說明道理，這往往比由教師指出更有效。
]師：判斷下列函式奇偶性：
生：它是偶函式。
師：為什麼？
生：因為對於定義域r內任意乙個，都有。
師：大家還有什麼不同看法嗎？
生：它還是奇函式。
師：為什麼？
生：因對任意，都有，即，按定義知是奇函式。
師：對！既是奇函式又是偶函式。而且既是奇函式又是偶函式的函式不止乙個，有無數個。不過它們的表示式都為（或可化為）的形式，所不同的只是它們的定義域。
[有些學生對函式的理解，往往侷限於表示式（對應規律）上，而忽視另一重要因素-----定義域。因此，通過這個例子，有助於學生進一步理解函式的概念。]
師：判斷函式的奇偶性。
生：是奇函式。
師：為什麼？
生：首先將函式化簡。因為它的定義域是，所以函式可以化簡為。經驗證可得，所以是奇函式。
師：說得非常好！所以我們在判定乙個函式的奇偶性時，首先應看它的定義域，即對於定義域內任意乙個，它的相反數是否也在定義域內。
給出的函式，如果未標明定義域，那麼怎樣確定它的定義域呢？
生：求出使這個函式有意義的實數的集合就是此函式的定義域。
師：對！
[如果乙個函式解析式比較複雜，且未指出其定義域，那麼在判斷函式的奇偶性時，應先確定函式的定義域，再決定是否需要將解析式化簡，並用函式奇偶性的定義加以判斷，以免導致錯誤。]
四、 小結
師：請同學們回答：判斷乙個函式的奇偶性，要注意些什麼？
生：首先觀察函式的定義域m，如果m不對稱於原點就可斷定既不是奇函式，也不是偶函式；如果m對稱於原點，一般就通過計算後運用定義來判斷；若函式式較為複雜，則要設法恒等變形將其化簡為易知其奇偶性的形式來判斷；若化簡後的函式式為，則可斷言既是奇函式又是偶函式。
[函式的奇偶性，看起來比較簡單，學生學習時也往往會覺得乏味。因此，在組織教學時，必須考慮到如何使學生感到這些淺顯、平淡的知識，還有一些值得思索與注意的地方。也就是說，要力求做到「淺顯中有新意，平淡中有雋味」，使學生「不輕視容易」。]
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