等量關係怎麼找
——《方程（組）的實際應用》教學反思
長興肖曄
前言：列方程解應用題是學生的乙個困難問題。大部分學生見到字多的題目就會大腦一片空白。這種不良反應很可能會延續到函式的實際應用。這個方面的教學反思是很有必要及迫切需要的。
筆者從事教學12年來，一直在反思應用題對於學生的困難之處。開始的時候，總是覺得原因在於學生文字理解能力差，看不懂題目。其實，這和語文的文字理解能力關係不大，主要是和學生對題中的數量關係的理解有關。
一、一元一次方程實際應用困難
先舉乙個學生覺得很容易的例子：
例1、乙個修路工程隊已完成1700公尺的任務，預計每天修150公尺，還需多少天能完成2450公尺的總任務？
這個問題為什麼簡單？因為學生對每天修150公尺，x天修150x公尺這種倍數關係理解了，等量關係「已完成+預計完成=總任務」就好找了。
再舉乙個學生覺得有點困難的例子：
例2、小明有5角硬幣和1元硬幣共50枚，其中5角硬幣比1元硬幣的2倍多5枚。小明的兩種硬幣各有多少枚？他共有多少元錢？
學生易犯的設未知數的錯誤是：設兩種硬幣各有x枚。第二個錯誤是：設5角硬幣有x枚，1元硬幣有（2x+5）枚。如果解設對了，一般都不會列錯方程。
這個題目絕對不存在閱讀理解的困難，背景是學生很熟悉的。在教學中發現，幾乎沒有學生主動「設5角的硬幣有x枚，則1元的硬幣有(50-x)枚」。部分接受能力強的學生對這種設法接受很快，還有一小部分學生（學習態度較好）就不能接受。
我們再仔細想想，其實「設5角的硬幣有x枚，則1元的硬幣有(50-x)枚」所涉及數學思想與列一次函式關係式是很相似的，所以部分學生覺得有難度。倍數關係很直接，學生易接受；這個關係用到一次逆向思維（加數=和–加數），所以難接受。
這個難點可以用列舉**的方法來解決：
這樣，數量間的關係就很清晰的展示出來了。其實，在學習代數式時，學過用字母表示數，可是學生思維沒有把兩個知識點聯絡起來。
很多參考書都是這樣總結列一元一次方程解應用題的一般步驟的。
第一步：審題，用乙個字母如x表示題目的未知數；
第二步：找出乙個相等關係式；
第三步：根據等量關係列出一元一次方程；
第四步：解這個方程，求出未知數的值；
第五步：檢驗，作答。
結合學生覺得困難的例2分析一下，第一步就不好辦了，因為有兩個未知量，卻只能設乙個未知數；第二步找乙個相等關係，其實題中有兩個相等關係。有些困難學生，第乙個步驟都不能順利完成，所以覺得難！雖然老師們都覺得這是個超級簡單的題，它確實難住了一些學習態度較好的學生。
老師的工作就是幫學生解決困難，我們需要學著學生的思維方式去理解他們。
二、二元一次方程組的實際應用困難
二元一次方程組的有關應用題在解設上沒有什麼困難，找相等關係列方程還是有很大困難。
也舉個例子：
例3、2台大收割機和5台小收割機均工作2小時共收割小麥3.2公頃，3台大收割機和2台小收割機均工作5小時共收割6.5公頃。1台大收割機和1台小收割機每小時各收割小麥多少公頃？
這個題目已知資料很多，部分學生望而生畏。列出的方程常常丟三拉四。
參考書常這樣總結列二元一次方程解應用題的一般步驟的。
第一步：認真審題,找出已知量、未知量（兩個）以及等量關係（兩個）；
第二步：設未知量x,y；
第三步：根據等量關係（兩個）列二元一次方程組；
第四步：解二元一次方程組；
第五步：檢驗，作答.
結合例3，分析一下學生覺得困難的地方。第一步，找出已知量、未知量容易，但找兩個等量關係就不那麼容易了。找不到等量關係，題就做不下去了。
我們可以發現，學生都是被「等量關係」難住的。不管設乙個未知數也好，設兩個未知數也好，只要找不到等量關係，方程就列不出來。
這個「害人」的等量關係還有乙個致命傷——要用文字描述。以例3為例，請老師們自己把「等量關係」準確的表述一下，你會發現，幾乎就是把題目重複了一遍。我們自己做這題，只會關注兩個「共」字，不會把等量關係詳細寫出來。
那為什麼要學生去寫或說呢?
反思，「等量關係」地位重要，但是它是否必須在第一時間出現呢？
三、兩種講解對比
以例3為例，對比「等量關係」在前和「等量關係」在後兩種講解方法。
例3、2台大收割機和5台小收割機均工作2小時共收割小麥3.2公頃，3台大收割機和2台小收割機均工作5小時共收割6.5公頃。1台大收割機和1台小收割機每小時各收割小麥多少公頃？
（一）「等量關係」在前
第一步：解：設1台大收割機和1台小收割機每小時各收割小麥x、y公頃,得： 第二步：找出相等關係： 大收割機工作量+小收割機工作量=總工作量
是不時所有學生都能準確找到這個等量關係能？
第三步：列出方程：
第四步：解出方程
第五步：檢驗，答
（二）「等量關係」在後
第一步：找出已知資料，建議學生在資料上作好標記（如圓圈）。
第二步：解：設1台大收割機和1台小收割機每小時各收割小麥x、y公頃,得：
第三步：分析每個已知資料和未知數的數量關係，順序是從前往後。
如，看到第乙個資料「2臺」，想想它和x還是y有關係，它們之間存在那種運算關係？學生很快會想到2x，接下來就是5y，這兩個式子就是方程的雛形，再考慮2小時和3.2公頃，方程很容易就出來了：
2（2x+5y）=3.2.
第四步：反思題中的「等量關係」
第五步：解出方程
第六步：檢驗，答
兩種方法對比：
第一種方法，學生容易在第二步受困；
第二種方法把找「等量關係」分解為找「數量關係」，學生不那麼容易受困；
第一種方法要求學生用文字描述「等量關係」，學生會覺得困難；
第二種方法在找數量關係的過程中，自覺地把等量關係用數學式子（方程）描述好了，學生不會覺得太困難；最後反思「等量關係」，加深對題目的理解。
四、「等量關係」在後的解題步驟反思
「等量關係」在後的列方程解實際問題的步驟:
第一步：認真讀題，找出已知量與未知量；
第二步：正確設好未知數；
第三步：按順序初步分析各個已知量與有關未知數的關係；
第四步：在初步分析的數量關係之間找到等量關係，列出方程（組）並反思等量關係的文字描述；
第五步：解方程（組）；
第六步：檢驗，答。
這樣的步驟，把找「等量關係」細化為找「數量關係」，按照已知資料出現的順序，乙個乙個分析，把文字理解和數量關係緊密結合在一起。這樣的步驟對列一元一次方程和列二元一次方程組都合適。這與波利亞的怎樣解題表的思路是一致的。
筆者的教學感受是，「等量關係」在後的方式比較適合中等以下層次的學生。在反覆強調這樣的步驟後，學生就從不能動手，到動手畫圈，再到設好未知數；動手之後，就開始思考，從列一半式子到列出方程。
實際問題與二元一次方程組說課稿
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8 3,實際問題,與二元一次方程組
8.3實際問題與二元一次方程組 1 學習目標 1使學生會借助二元一次方程組解決簡單的實際問題，讓學生再次體會二元一次方程組與現實生活的聯絡和作用 2通過應用題教學使學生進一步使用代數中的方程去反映現實世界中等量關係，體會代數方法的優越性 3體會列方程組比列一元一次方程容易 4進一步培養學生化實際問題...
《實際問題與二元一次方程組》教學反思
這樣，數量間的關係就很清晰的展示出來了。其實，在學習代數式時，學過用字母表示數，可是學生思維沒有把兩個知識點聯絡起來。很多參考書都是這樣總結列一元一次方程解應用題的一般步驟的。第一步 審題，用乙個字母如x表示題目的未知數 第二步 找出乙個相等關係式 第三步 根據等量關係列出一元一次方程 第四步 解這...