a公司生產的x產品有5家**商，各**商的重要指標如下，試確定最佳**商。
表1 a公司x產品5家**商指標評價值表
要確定最佳**商，就要考慮以上各項指標，如交易**低、準時交貨率高、**能力強等多方面的因素，綜合分析比較後作出決策。這類問題稱為綜合評價問題。
綜合評價是指對評價物件所進行的客觀、公正、合理的評價，具體來說就是對乙個複雜系統的多屬性、多個因素的指標資料資訊，應用定量分析的方法對資料資訊進行加工和提煉，以得到研究物件優劣等級的乙個評價方法。其目的是根據系統的屬性判斷評價物件的優劣，並進行綜合排序或分類。
綜合評價方法在政治、經濟、軍事、社會管理以及工業、農業等科學研究領域中具有重要的應用價值和廣泛的應用前景。
一、評價指標的預處理
（一）、定性指標的定量化
在綜合評價中，有些評價指標是定性指標，只能給出定性的描述，例如：質量很好、效能一般、可靠性高、態度惡劣等。對於這些指標，在綜合評價時，必須先通過適當的方式進行賦值，使其量化。
一般來說，對於指標最優值可賦值10.0，對於指標最劣值可賦值為0.0.
對極大型和極小型定性指標常按一下方式賦值。
（1）極大型定性指標量化方法
對於極大型定性指標而言，如果指標能夠分為很低、低、一般、高和很高等五個等級，則可以分別取量化值為1、3、5、7和9。介於兩個等級之間的可以取兩個分值之間的適當數值作為量化值。
（2）極小型定性指標量化方法
對於極小型定性指標而言，如果指標能夠分為很低、低、一般、高和很高等五個等級，則可以分別取量化值為9、7、5、3和1。介於兩個等級之間的可以取兩個分值之間的適當數值作為量化值。
（二）、 評價指標的一致化處理
所謂一致化就是講評價指標的型別進行統一。一般來說，在評價指標體系中，可能會同時存在極大型指標、極小型指標、居中型指標和區間指標。
（1）極大型指標是希望取值越大越好，如產量、利潤和成績等。
（2）極小型指標是希望取值越小越好，如成本、費用、故障率等。
（3）居中型指標是希望居中合適為好，不希望太大也不能太小，如室內溫度、空氣濕度等。
若指標體系中存在不同型別的指標，必須在綜合評價之前將評價指標的型別做一致化處理。例如：將各類指標都轉化為極大型指標，或極小型指標。一般的做法是將非極大型指標都轉化為極大型指標。
（1）極小型指標轉化為極大型指標
對於極小型指標，將其轉化為極大型指標時，只需對指標取倒數：
或做平移變換：，其中是的最大值。
（2）居中型指標化為極大型指標
對於居中型指標，令的最大值為，的最小值為，取
就可以將轉化為極大型指標。
（3）區間型指標化為極大型指標
對區間型指標，是取值介於區間內為最好，指標值離該區間越遠就越差。令的最大值為，的最小值為，取
就可以將區間型指標轉化為極大型指標。
（三）、評價指標的歸一化（無量綱化）處理
各個評價指標的數量等級可能不一樣，單位也不一定一致，例如**能力為10000件，交易**為35元。評價指標的歸一化就是通過數學變換來消除原始資料在數量等級和單位上的差異。
假設某指標的觀測值為、、……、，（）則其歸一化方法如下：
變化後。
二、topsis法（逼近理想解法）
topsis法是逼近理想解的排序方法（technique for order preference by similarity to ideal sllution的英文縮寫）。它借助於評價問題的正理想解和負理想解，對各評價物件進行排序。所謂正理想解是乙個虛擬的最佳物件，其每個指標值都是所有評價物件中該指標的最好的值；而負理想解則是另乙個虛擬的最差物件，其每個指標值都是所有物件中該指標的最差的值。
求出各評價物件與正理想解和負理想解的距離，並以此對評價集s中各評價物件進行優劣排序。
設綜合評價問題含有個評價物件個指標，相應的指標觀測值分別為
指標權重向量為。則topsis法的計算過程如下：
（1）將評價指標進行預處理，即進行一致化和歸一化處理，並構造評價矩陣
（2）確定正理想解和負理想解，其中
當第項指標為極大型時，取，
（3）計算各評價物件到正理想解和負理想解的距離，計算公式分別如下：
，（4）計算各評價物件對理想解的相對接近度，其計算公式如下：
（5）根據相對接近度對各評價物件進行排序，最大的為優。
三、原任務的求解
問題：a公司生產的x產品有5家**商，各**商的重要指標如下，試確定最佳**商。
表1 a公司x產品5家**商指標評價值表
求解：1. 指標的一致化
2.指標的歸一化，構造評價矩陣
3. 計算權重係數
4.構造加權規範評價矩陣
5. 計算正理想解和負理想解
6. 計算距離及相對接近度
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