（2）不等式的證明
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
１．若a>0, b >0,則的最小值是
a．2 b． c． d．4
2．分析法證明不等式中所說的「執果索因」是指尋求使不等式成立的
a．必要條件 b．充分條件
c．充要條件 d．必要或充分條件
3．設a、b為正數，且a+ b≤4，則下列各式中正確的乙個是
a． b． c． d．
4．已知a、b均大於1，且logac·logbc=4，則下列各式中，一定正確的是
a．ac≥b b．ab≥c c．bc≥a d．ab≤c
5．設a=，b=，，則a、b、c間的大小關係是
a．a>b>c b．b>a>c c．b>c>a d．a>c>b
6．已知a、b、m為正實數，則不等式
a．當a< b時成立 b．當a> b時成立
c．是否成立與m無關 d．一定成立
7．設x為實數，p=ex+e-x，q=(sinx+cosx)2，則p、q之間的大小關係是
a．p≥q b．p≤q c．p>q d． p8．已知a> b且a+ b <0，則下列不等式成立的是
a． b． c． d．
9．設a、b為正實數，p=aabb，ｑ=abba，則p、q的大小關係是
a．p≥q b．p≤q c．p=q d．不能確定
10．甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，則甲、乙兩人到達指定地點的情況是
a．甲先到 b．乙先到 c．甲乙同時到 d．不能確定
二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）
11．若正數a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值範圍是
12．已知a>1，algb=100，則lg(ab)的最小值是
13．使不等式a2>b 2，，lg(a－b)>0， 2a>2b-1同時成立的a、b、1的大小關係是
14．建造乙個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方公尺分別為120元和80元，則水池的最低總造價為元．
三、解答題（本大題共6題，共76分）
15．若a、b、c都是正數，且a+b+c=1，
求證： (1–a)(1–b)(1–c)≥8abc．（12分）
16．設的大小．（12分）
17．已知a，b，c都是正數，且a，b，c成等比數列，求證：
（12分）
18．已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac + bd．（12分）
19．設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2，畫面的寬與高的比為λ（λ<1），畫面的上下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，能使宣傳畫所用紙張面積最小？（14分）
20．數列由下列條件確定：．
（ⅰ）證明：對n≥2，總有xn≥；
（ⅱ）證明：對n≥2，總有xn≥． （14分）
參***
一．選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
二．填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）
11．x≥9 12． 13．a>b>1 14．1760
三、解答題（本大題共6題，共76分）
15．（12分）
[證明]：因為a、b、c都是正數，且a+b+c=1，
所以(1–a)(1–b)(1–c)=(b+c)( a+c)( a+b)≥2·2·2=8abc．
16．（12分）
[解析 ]：
（當且僅當t=1時時等號成立）
（1） 當t=1時， （2） 當時，，若若
17．（12分）
[證明]：左－右=2（ab+bc－ac） ∵a，b，c成等比數列，
又∵a，b，c都是正數，所以≤ ∴∴∴
18．（12分）
[證法一]：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正數 ∴要證：xy≥ac + bd
只需證：(xy)2≥(ac + bd)2 即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
展開得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
即：a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式，顯然成立
xy≥ac + bd
[證法二]：（綜合法）xy =
[證法三]：（三角代換法）
∵x2 = a2 + b2，∴不妨設a = xsin, b = xcos
y2 = c2 + d2c = ysin, d = ycos
ac + bd = xysinsin + xycoscos = xycos( )≤xy
19．（14分）
[解析]：設畫面高為x cm，寬為x cm 則x2=4840．
設紙張面積為s，有 s=（x +16）(x +10) = x 2+(16+10) x +160,
s=5000+44
當8此時，高： 寬：
答：畫面高為88cm，寬為55cm時，能使所用紙張面積最小．
20．（14分）
（i）證明：由及可歸納證明（沒有證明過程不扣分）
從而有所以，當成立.
（ii）證法一：當
所以故當
證法二：當
所以故當.
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