來稿日期：2023年5月21日
適合欄目：專論薈萃
適合年級：高二
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**標題：利用定積分證明一類不等式
作者：王妙勝
工作單位：廣東省龍川縣第一中學（高中部）
郵編：517300
利用定積分證明一類不等式
高中人教版教材選修2-2中對定積分有如下定義：
如果函式在區間上連續，用分點將區間等分成個小區間，在每個小區間上任取一點，作和式，當時，上述和式無限接近某個常數，這個常數叫做函式在區間上的定積分，記作，即。
根據定積分的定義及其幾何意義，容易得到如下一結論：
結論若函式在區間上連續、恆大於零且單調遞減，用分點
將區間等分成個小區間，則有都取為每個小區間的右端點的和式值小於函式在區間上的定積分值；而都取為每個小區間的左端點的和式值大於函式在區間上的定積分值，即是。
推論若，，函式在區間上連續、恆大於零且單調遞減，考慮函式在區間上的定積分，則有。
應用以上結論的推論可以統一簡潔地證明一類不等式，下面例舉說明：
例1 證明，（）。
證明考慮減函式，依推論有；又有：，綜合即可得原不等式。
例2 求，（其中表示不大於的最大整數）。
分析此題的關鍵在於估計取整符號裡的數介於哪兩個整數之間，從而轉化為證明不等式的問題。
解考慮減函式，有：，從而；又有： ，所以，從而。
例3 證明，（）。
證明考慮減函式，有：，即是原不等式成立。
例4 （2023年全國高中數學聯合競賽加試試題第二題的加強）求證不等式：
證明容易驗證當時原不等式右邊取等號，原不等式成立。當時，令函式，當時，，因此函式在上恆大於零且單調遞減，依推論可知：
，欲證原不等式的右邊，只需證，只需證，只需證，只需證，由可知原不等式右邊成立；
又=，欲證原不等式的左邊，只需證，只需證，只需證，由可見顯然成立，從而原不等式的左邊也成立。綜上所述，原不等式成立。
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