1等腰三角形
知識點1 等腰三角形的性質定理
等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩個底角相等(簡述為等邊對等角)．
用符號語言表示為：如圖1－1所示，在△abc中，∵ab＝ac，∴∠b＝∠c．
定理的證明：
取bc的中點d，連線ad．
∵∴△abd≌△acd(sss)．
∴∠b＝∠c(全等三角形的對應角相等)．
定理的作用：證明同乙個三角形中的兩個內角相等．
拓展等腰三角形還具有其他性質．
(1)等腰直角三角形的兩個底角相等，都等於45°．
(2)等腰三角形的底角只能是銳角，不能是鈍角或直角，但頂角可以是銳角、鈍角或直角．
(3)等腰三角形的三邊關係：設腰長為a，底邊長為b，則＜a．
(4)等腰三角形的三角關係：設頂角為∠a，底角為∠b，∠c，則∠a＝180°－∠b－∠c＝180°－2∠b＝180°－2∠c．
知識點2 等腰三角形的性質定理的推論
推論1：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡稱「三線合一」)．
(1)用符號語言表示為：如圖1－3所示，
①在△abc中，∵ab＝ac，∠1＝∠2，∴ad⊥bc．bd＝dc；
②在△abc中，∵ab＝ac，ad⊥bc，∴∠1＝∠2，bd＝dc；
③在△abc中，∵ab＝ac，bd＝dc，∴∠1＝∠2，ad⊥bc．
(2)推論1的證明．
①在△abc中，∵ab＝ac，∠1＝∠2，ad＝ad，
∴△abd≌△acd(sas)．
∴bd＝dc，∠adb＝∠adc＝90°．∴ad⊥bc．
②在△abc中，∵ad⊥bc，∴∠adb＝∠adc＝90°．
∵ab＝ac，∴∠b＝∠c．又ad＝ad，∴rt△adb≌rt△adc(aas)．
∴∠1＝∠2，bd＝cd．
③在△abc中，∵ab＝ac，ad＝ad，bd＝cd，
∴△abd≌△acd(sss)
∴∠1＝∠2，∠adb＝∠adc＝90°，∴ad⊥bc.
(3)推論1的作用：證明角相等、線段相等或垂直.
推論2：等邊三角形的三個角都相等，並且每個角都等於60°．
(1)用符號語言表示為：如圖1－4所示，
在△abc中，∵ab＝bc＝ac，∴∠a＝∠b＝∠c＝60°．
(2)推論2的證明：
∵ab＝ac，∴∠b＝∠c．
∵ab＝bc，∴∠a＝∠c．
∴∠a＝∠b＝∠c．
又∵∠a+∠b+∠c＝180°，即3∠a＝180°，
∴∠a＝∠b＝∠c＝60°．
知識點3 等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡述為等角對等邊)．
用符號語言表示為：如圖1－6所示，在△abc中，
∵∠b＝∠c，∴ab＝ac
判定定理的證明：如圖1－6所示．
過a作ad⊥bc於d，則∠adb＝∠adc＝90°．
∵∠b＝∠c，ad＝ad，∴△abd≌△acd(aas)，
∴ab＝ac．
√判定定理的作用：證明同乙個三角形中的邊相等．
拓展如圖1－6所示，在△abc中，
(1)如果ad⊥bc，∠1＝∠2，那麼ab＝ac；
(2)如果ad⊥bc，bd＝dc，那麼ab＝ac；
(3)如果∠1－∠2，bd＝dc，那麼ab＝ac．
知識點4 等腰三角形的判定定理的推論
推論1．
(1)推論1的內容：有乙個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形．
(2)用符號語言表示為：如圖1－8所示，在△abc中，∵ab＝ac，∠a＝60°(或∠b＝60°或∠c＝60°)，∴ab＝ac＝bc．
(3)推論1的證明：
在△abc中，∵ab＝ac，∴∠b＝∠c．
又∵∠a＝60°，∴∠b＝∠c＝＝60°
∴ab＝ac＝bc．
(或∵∠b＝60°，∴∠a＝180°－2∠b＝60°．∴ab＝ac＝bc．或∵∠c＝60°，∴∠a＝180°－2∠c＝60°．∴ab＝ac＝bc．)
√推論2．
(1)推論2的內容：三個角都相等的三角形是等邊三角形．
(2)用符號語言表示為：如圖1－8所示，在△abc中，∵∠a＝∠b＝∠c，∴ab＝ac＝bc．
(3)推論2的證明：
在△abc中，∵∠a＝∠b，∴bc＝ac(等角對等邊)．
又∵∠b＝∠c，∴ab＝ac(等角對等邊)．∴ab＝ac＝bc．
(4)推論1和推論2的作用：證明乙個三角形是等邊三角形．
拓展判定乙個三角形是等邊三角形主要有以下三種方法：
(1)根據等邊三角形的定義，證明三條邊相等；
(2)根據推論1，證明兩條邊相等，有乙個角是60°；
(3)根據推論2，證明三個角都相等．
√推論3．
(1)推論3的內容：在直角三角形中，如果乙個銳角等於30。，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半．
(2)用符號語言表示為：如圖1－9所示，在rt△abc中，∵∠c＝90°，∠a＝30°，∴bc＝ab．
(3)推論3的作用：證明一條線段是另一條線段的一半或2倍．
知識點5 反證法
先假設命題的結論不成立，然後從假設出發，推導出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果，從而否定假設，證明命題的結論一定成立，這種證明方法稱為反證法．
拓展反證法是一種常用的間接證明方法，用反證法的一般步驟是：
(1)假設命題不成立；
(2)從假設出發推導出矛盾；
(3)否定假設，從而肯定命題的結論．
規律方法小結
1．轉化思想：在等腰三角形的性質定理和判定定理的證明過程中，都是通過構造全等三角形，轉化為全等得以證明的．
2．模擬思想：採用模擬思想，把等腰三角形的性質和判定對照著學習．
3．用反證法進行證明時，注意推理的規範性和邏輯的嚴密性，不能忽略任何一種可能的情況．
**交流
想一想：還有其他方法證明等腰三角形的性質定理嗎？
解析有，作等腰三角形abc的頂角平分線ad，如圖1－2所示.
∵∴△abd≌△acd(sas).
∴∠b＝∠c(全等三角形的對應角相等)
課堂檢測
1、如圖1－10所示，在△abc中，ab＝ac，ad＝ac，ae＝ab．求證bd＝ce．
2、如圖1－12所示，已知點d，e在△abc的邊bc上，ab＝ac，ad＝ae．求證bd＝ce．
3、如圖1－13所示，已知∠cae是△abc的乙個外角，∠1＝∠2，ad∥bc，
求證△abc是等腰三角形．
4、下面是數學課堂的乙個學習片段，閱讀後，回答問題．
學習等腰三角形的有關內容後，張老師請同學們交流討論這樣乙個問題：已知等腰三角形abc的∠a等於30°，求其餘兩角．
同學們經過片刻的思考與交流後，李明同學舉手說：「其餘兩角是30°和120°．」王華同學說：「其餘兩角是75°和75°．」還有一些同學也提出了不同的看法……
假如你也在課堂上，你的意見如何?為什麼?
5、已知等邊三角形abc和點p，設點p到△abc三邊ab，ac，bc的距離分別是h1，h2，h3，△abc的高為h，若點p在邊bc上，如圖1－17(1)所示，此時h3＝0，可得結論：h1+h2+h3＝h．
請直接應用上述資訊解決下列問題：
點p在△abc內，如圖1－17(2)所示．點p在△abc外，如圖1－17(3)所示，這兩種情況時，上述結論是否還成立?若成立，請給出證明；若不成立，h1，h2，h3與h之間又有怎樣的關係?請寫出你的猜想，不需證明．
體驗中考
1、已知等腰三角形abc的周長為10．若設腰長為x，則x的取值範圍是 ．
2、如圖1－20所示，在△abc和△def中，ab＝de，be＝cf，∠b＝∠1．求證ac＝df(要求：寫出證明過程中的重要依據)．
2直角三角形
知識概覽圖
知識點1 勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方，即c2＝a2+b2(c為斜邊長)．
√勾股定理的作用．
(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊．
(2)已知直角三角形的一條邊，求另外兩條邊的數量關係．
(3)用於證明平方關係的問題．
(4)利用勾股定理作出長為的線段．
勾股定理的各種表達形式．
在rt△abc中，∠c＝90°，∠a，∠b，∠c的對邊長分別為a，b，c，則a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，c2＝a2+b2，c＝，a＝，b＝．
勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形．
勾股定理是直角三角形的性質定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理．
直角三角形的判定．
(1)首先確定最大邊(如c)．
(2)驗證c2與a2+b2是否具有相等關係．
若c2＝a2+b2，則△abc是直角三角形；
若c2≠a2+b2，則△abc不是直角三角形．
勾股數．
(1)能夠成為直角三角形三邊長的三個正整數．稱為勾股數或勾股弦數．
(2)勾股數必須是正整數．如3，4，5；5，12，13等．
拓展應用勾股定理時，必須是在同一直角三角形中；應用勾股定理的逆定理判定乙個三角形是直角三角形時，一定是最長邊所對的角是直角，其他兩邊所對的角是銳角．
知識點2 互逆命題與互逆定理
在兩個命題中，如果乙個命題的條件和結論分別是另乙個命題的結論和條件，那麼這兩個命題稱為互逆命題，其中乙個命題稱為另乙個命題的逆命題．
拓展每個命題都有逆命題．原命題是真命題，而它的逆命題不一定是真命題．原命題和逆命題的真假性一般有四種情況：真、假；真、真；假、假；假、真．
如果乙個定理的逆命題經過證明是真命題．那麼它也是乙個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中乙個定理稱為另乙個定理的逆定理．
拓展每個命題都有逆命題．但不是所有的定理都有逆定理.
知識點3 直角三角形全等的判定定理
直角三角形全等的判定定理：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．這一定理可以簡單地用「斜邊、直角邊」或「hl」表示．
√定理的作用：判定兩個直角三角形全等．
√定理的證明：如圖1－30所示，已知rt△abc，rt△a′b′c′，∠c＝∠c′＝90°，ab＝a′b′，ac＝a′c′，求證rt△abc≌rt△a′b′c′．
證明：∵在△abc和△a′b′c′中，∠c＝∠c′＝90°，
∴bc＝，b′c′＝.
∵ab＝a′b′，ac＝a′c′，∴bc＝b′c′．
∴rt△abc≌rt△a′b′c′(sss)．
知識拓展 「hl」是直角三角形所獨有的判定定理，對於一般三角形不成立．判定兩個直角三角形全等時，這兩個直角三角形已經有一對直角相等的條件，只需找出另外兩個條件即可，而這兩個條件中必須有乙個是邊對應相等．與一般三角形全等一樣，只有三個角相等的兩個直角三角形不一定全等．
八年級下冊數學第一章第二章總結 北師大
八年級下冊數學總結 第一章一元一次不等式和一元一次不等式組 一 不等關係 1.用符號 或 或 連線的式子叫做不等式。2.非負數 大於等於0 0和正數 不小於0 非正數 小於等於0 0和負數 不大於0 二 不等式基本性質 1 不等式的兩邊加上 或減去 同乙個整式，不等號的方向不變，即，如果a b，那麼...
北師大版八年級數學下冊 第一章 證明二 單題
例1 如圖，在 abc中，c 90 ac 14，bd平分 abc，交ac於d，ad dc 5 2，則點d到ab的距離為 a 10b 4c 7d 6 例2 如圖，abc中，ab ac bd，ad dc，則 bac的度數為 a 120 b 108 c 100d 135 例3 如圖，abc中，b，c的角平...
新北師大八年級上冊數學第一章勾股定理教案
課題 1.1 探索勾股定理 一 教學目標 一 知識與技能 1 經歷用數格仔的辦法探索勾股定理的過程，進一步發展學生的合情推理意識，主動 的習慣，進一步體會數學與現實生活的緊密聯絡。2 探索並理解直角三角形的三邊之間的數量關係，進一步發展學生的說理和簡單推理的意識及能力。二 過程與方法 在觀察 猜想 ...