熱點14 四邊形的證明與計算
（時間：100分鐘總分：100分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有乙個是符合題目要求的）
1．下列命題正確的是（ ）
a．對角線互相平分的四邊形是菱形；
b．對角線互相平分且相等的四邊形是菱形
c．對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形；
d．對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.
2．平行四邊形abcd中，∠a、∠b、∠c、∠d四個角的度數比可能是（ ）
a．1：2：3：4 b．2：3：2：3 c．2：2：3：3 d．1：2：2：3
3．如果菱形的邊長是a，乙個內角是60°，那麼菱形較短的對角線長等於（ ）
a． a b． a c．a d． a
4．用形狀、大小完全相同的圖形不能進行密鋪的是（ ）
a．任意三角形 b．任意四邊形 c．正五邊形 d．正四邊形
5．已知乙個等腰梯形的下底與上底之差等於一腰長，則這個等腰梯形中的較小的角的度數為（ ）
a．30° b．60° c．45° d．75°
6．已知四邊形abcd中，在①ab∥cd；②ad=bc；③ab=cd；④∠a=∠c四個條件中，不能推出四邊形abcd是平行四邊形的條件是（ ）．
a．①② b．①③ c．①④ d．②③
7．如圖1， abcd中，對角線ac和bd相交於點o，如果ac=12，bd=10，則ab的長m取值範圍是（ ）
a．1 （1234)
8．如圖2，兩張寬度相等的紙條交叉重疊，重合部分是（ ）
a．平行四邊形 b．菱形 c．矩形 d．正方形
9．如圖3， abcd中，p是對角線bd上的任意一點，過點p作ef∥bc，hg∥ab，則下列說法不正確的是（ ）
a．saepg=sphcfb．圖中有3對全等三角形
c．圖中共有9個平行四邊形 d．saefd≠sghcd
10．如圖4，在菱形abcd中，∠bad=80°，ab的垂直平分線交對角線ac於點f，e為垂足，鏈結df，則∠cdf等於（ ）
a．80° b．70° c．65° d．60°
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
11．如圖5， abcd中，∠bad的平分線ae交bc於e，且ad=a，ab=b，用含a、b的代數式表示ec，則ec
(5678)
12．如圖6，平行四邊形abcd中，e是bc中點，且ae=9，bd=12，ad=10，則該平行四邊形的面積是
13．已知菱形的周長為20cm，兩對角線之和為14cm，則菱形的面積為_____cm2．
14．以邊長為2cm的正方形的對角線為邊的正方形的面積為________cm2．
15．乙個多邊形的每個外角都是36°，則這個多邊形的邊數是________．
16．矩形abcd中，m是bc的中點，且ma⊥md，若矩形的周長為48cm，則矩形abcd的面積為_______cm2．
17．如圖7，若將四根木條釘成矩形木框，再變形為平行四邊形abcd的形狀，並使其面積為矩形面積的一半，則這個平行四邊形的乙個最小內角的度數為_______．
18．如圖8，菱形abcd的對角線長分別為2和5，p是對角線ac上任一點（點p不與點a、c重合），且pe∥bc交ab於e，pf∥cd交ad於f，則陰影部分的面積是_______．
三、解答題（本大題共46分，19～23題每題6分，24題、25題每題8分．解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．如圖，在△abc中，∠b=∠c，d是bc的中點，de⊥ab，df⊥ac，垂足分別為e、f．求證：（1）△bde≌cdf．（2）△abc是直角三角形時，四邊形aedf是正方形．
20．如圖， abcd中，e、f為對角線ac上兩點，且ae=cf，問：四邊形ebfd是平行四邊形嗎？為什麼？
21．如圖，圓a、圓b、圓c、圓d、圓e、圓f相互外離，它們的半徑都是1，順次鏈結這六個圓心，得到六邊形abcdef．
求：（1）∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f的度數．（2）求圖中陰影部分的面積之和．
22．如圖， abcd中，o是對角線ac的中點，ef⊥ac交cd於e，交ab於f，問四邊形afce是菱形嗎？請說明理由．
23．如圖，梯形abcd中，ad∥bc，bd平分∠abc，∠a=120°，bd=bc=4，求梯形的面積．
24．如圖，正方形abcd和正方形a′ob′c′是全等圖形，則當正方形a′ob′c′繞正方形abcd的中心o順時針旋轉的過程中．
（1）四邊形oecf的面積如何變化．（2）若正方形abcd的面積是4，求四邊形oecf的面積．
25．如圖，直角梯形abcd中，ad∥bc，∠b=90°，ad=24cm，bc=26cm，動點p從a開始沿ad邊向d以1cm/s的速度運動，動點q從點c開始沿cb以3cm/s的速度向點b運動．p、q同時出發，當其中一點到達頂點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為ts，問t為何值時．
（1）四邊形pqcd是平行四邊形．（2）當t為何值時，四邊形pqcd為等腰梯形．
答案:一、選擇題
1．d 2．b 3．c 4．c 5．b 6．a 7．a 8．b 9．d 10．d
二、填空題
11．a-b 12．72 13．24 14．8 15．10 16．128 17．30°18．
三、解答題
19．證明：（1）
△bde≌△cdf．
（2）由∠a=90°，de⊥ab，df⊥ac知：
矩形aedf是正方形．
20．解：四邊形ebfd是平行四邊形．在abcd中，鏈結bd交ac於點o，
則ob=od，oa=oc．又∵ae=cf，∴oe=of．
∴四邊形ebfd是平行四邊形．
21．解：（1）由多邊形內角和定理知：
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f=（6-2）×180°=720°．
（2）s陰影=r2 =2．
22．解：四邊形afce是菱形．
∵四邊形abcd是平行四邊形．
∴oa=oc，ce∥af．
∴∠eco=∠fao，∠afo=∠ceo．
∴△eoc≌△foa，∴ce=af．
而ce∥af，∴四邊形afce是平行四邊形．
又∵ef是垂直平分線，∴ae=ce．
∴四邊形afce是菱形．
23．解：在梯形abcd中由題設易得到：
△abd是等腰三角形，且∠abd=∠cbd=∠adb=30°．
過點d作de⊥bc，則de=bd=2，be=6．
過點a作af⊥bd於f，則ab=ad=4．
故s梯形abcd=12+4．
24．解：（1）四邊形oecf的面積不變．
因為在旋轉過程中，始終有△odf≌△oce，
故s四邊形oecf=s△oec+s△ofc=s△ocd．
（2）由（1）知s四邊形oecf=s△ocd=×4=1．
25．解：（1）∵pd∥cq，∴當pd=cq時，四邊形pqcd是平行四邊形．
而pd=24-t，cq=3t，
∴24-t=3t，解得t=6．
當t=6時，四邊形pqcd是平行四邊形．
（2）過點d作de⊥bc，則ce=bc-ad=2cm．
當cq-pd=4時，四邊形pqcd是等腰梯形．
即3t-（24-t）=4．∴t=7．毛
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