二、幾種常見的數學思想方法在初中數學教學中的應用
（一）滲透轉化思想，提高學生分析解決問題的能力
所謂「轉化思想」是指把待解決或未解決的問題，通過轉化，歸結到已經解決或比較容易解決的問題中去，最終使問題得到解決的一種思想方法。轉化思想是初中數學中常見的一種數學思想，它的應用十分廣泛，我們在數學學習過程中，常常把複雜的問題轉化為簡單的問題，把生疏的問題轉化為熟悉的問題。數學問題的解決過程就是一系列轉化的過程，轉化是化繁為簡，化難為易，化未知為已知的有力手段，是解決問題的一種最基本的思想，對提高學生分析解決問題的能力有積極的促進作用。
我們對轉化思想並不陌生，中學數學中常用的化高次為低次、化多元為一元，都是轉化思想的體現。在具體內容上，有加減法的轉化、乘除法的轉化、乘方與開方的轉化、數形轉化等等。例如：
初中數學「有理數的減法」和「有理數的除法」這兩節教學內容中，教材是通過「議一議」的形式，使學生在自主**和合作交流的過程中，經歷把有理數的減法轉化為加法、把有理數的除法轉化為乘法的過程，「減去乙個數等於加上這個數的相反數」，「除以乙個數等於乘以這個數的倒數」，這個地方雖然很簡單，但卻充分體現了把「沒有學過的知識」轉化為「已經學過的知識」來加以解決，學生一旦掌握了這種解決問題的策略，今後無論遇到多麼難、多麼複雜的問題，都會自然而然地想到把「不會的」轉化為「會的」、「已經掌握的」知識來加以解決，這符合學生原有認知規律，作為教師，我們不能因為簡單而忽視它的教學，實踐告訴我們，往往是越簡單、越淺顯的例子，越能引起學生的認同，所以我們不能錯過這一絕佳的提高學生的思維品質的機會。
再如北京市義務教育課程改革實驗教材數學第13冊第4章中《對圖形的認識》，它實際上是「空間與圖形」的最基本部分。教材在編排設計上是圍繞認識基本幾何體、發展學生空間觀念展開的，在過程上是讓學生經歷圖形的變化、展開與摺疊等數學活動過程的，在活動中引導學生認識常見的幾何體以及點、線、面和一些簡單的平面圖形，通過對某些幾何體的主檢視、俯檢視、左檢視的認識，在平面圖形與立體圖形的轉化中發展學生的空間觀念。在授課過程中要特別注意圖形的轉化思想的滲透，在實際操作中，因為大部分學生在小學時就積累一定的感性處理方法，我們要注意的就是在學生原有知識結構的基礎上，將其上公升為理論高度，引導學生歸納概括得出一般性的結論：
在初中階段，絕大部分立體圖形的問題都可以轉化為平面圖形的問題，從而使學生真正體會到立體與平面的相互轉化思想。
又如在解方程組時，通過消元這個手段，把二元一次方程組轉化為一元一次方程去解；在解多邊形問題時，又是通過新增輔助線這個手段，把多邊形的問題轉化為三角形的問題加以解決等等。數學中的有理數和無理數、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和變數、整體和區域性等處處都蘊涵著轉化這一辯證思想。因此，在初中數學教學中，應有意識地滲透轉化思想。
如在學習分式方程時，不能只簡單介紹分式方程的概念和解法，教學時，應讓學生充分經歷整式方程與分式方程的觀察、比較、分析、探索過程，啟發學生說出分式方程的解題基本思想，學生在經歷了充分的探索後，自然認識到：通過把分式方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，就可以把分式方程轉化為整式方程，學生感悟到分式方程與整式方程概念和解法的實質後，會收到一種居高臨下，深入淺出的教學效果。因此，在初中數學教學中，要注重滲透轉化思想，可以說轉化思想是科學世界觀在數學中的體現，是最重要的數學思想之一，不僅可以培養學生的科學意識，而且可以提高學生的觀察能力、探索能力和分析解決問題的能力。
（二）滲透數形結合的思想方法，提高學生的數形轉化能力和遷移思維的能力
恩格斯曾說過：「純數學的物件是現實世界的空間形式和數量關係」。而「數」和「形」是數學中兩個最基本的概念。
「數」是數量關係的體現，而「形」則是空間形式的體現。它們兩者既有對立的一面，又有統一的一面。我們在研究數量關係時，有時要借助於圖形直觀地去研究，而在研究圖形時，又常常借助於線段或角的數量關係去探求。
數形結合思想是指將數與圖形結合起來解決問題的一種思維方式。數和式是問題的抽象和概括、圖形和影象是問題的具體和直觀的反映。因此，數和形是研究數學的兩個側面，利用數形結合，常常可以使所要研究的問題化難為易，使複雜問題簡單化、抽象問題具體化。
正如著名數學家華羅庚所說的那樣：「數無形，少直觀，形無數，難入微」，這句話闡明了數形結合思想的重要意義。
在初中代數列方程解應用題教學中，很多例題都採用了圖示法進行分析，在教學過程中要充分利用圖形的直觀性和具體性，引導學生從圖形上發現數量關係，找出解決問題的突破口，學生掌握了數形結合這一思想要比掌握乙個公式或一種具體方法更有價值，對解決問題更具有指導意義。
又如，計算：1+3=？1+3+5=？1+3+5+7=？1+3+5+7+9=？並根據計算結果，探索規律。
在這道題的教學中，首先應讓學生思考：從上面這些算式中你能發現什麼？讓學生經歷觀察（每個算式和結果的特點）、比較（不同算式之間的異同），歸納（可能具有的規律）、提出猜想的過程。
在探索過程中鼓勵學生進行相互合作交流，提供如下的幫助：列出乙個點陣，用圖形的直觀來幫助學生進行猜想。這就是典型的把數量關係問題轉化到圖形中來完成的題型，充分體現了數形結合思想。
再如在講「圓與圓的位置關係」時，可自製圓形紙板，進行運動實驗，讓學生首先從形的角度認識圓與圓的位置關係，然後可激發學生積極主動探索：兩圓的位置關係反映到數上有何特徵？這種借助於形通過數的運算推理研究問題的數形結合思想，在教學中要不失時機地滲透，這樣不僅可以提高學生的遷移思維能力，還可以培養學生的數形轉換能力和多角度思考問題的習慣。
此外，數學教學中，我們正是借助數形結合的載體——數軸，學習研究了數與點的對應關係，相反數、絕對值的定義，有理數大小比較的法則等，利用數形結合思想大大減少了引進這些概念的難度。數形結合思想的滲透不能簡單的通過解題來實現和灌輸，應該落實在課堂教學的學習探索過程中，我在講「相反數」這節課時，首先提出問題：「在上體育課時，體育***請小明和小強分別站在***的左右兩邊（三人在同一條直線上），並與***相距1公尺。
你能說出小明、小強與***的位置關係有什麼相同點和不同點嗎？如果***所站的位置是數軸的原點，你能把小明、小強所站的位置用數軸上的點a、b表示出來嗎？它們在數軸上的位置有什麼關係？
」讓學生動手實踐，在數軸上分別確定表示這些數的點。 觀察並思考：這些點在位置上有怎樣的特徵。
引導學生歸納總結，形成相反數的概念，在此基礎上繼續提出問題：若兩個數互為相反數，從「數、形」的角度看，它們有什麼相同點和不同點呢？學生思考得到：
從「數」的角度看：若兩個數互為相反數，則只有符號不同。教師強調：
只有、兩個、互為。從「形」的角度看：相同點是它們到原點的距離相等；不同點是兩個點分別在數軸原點的兩側。
之後，我進一步引導學生觀察數軸，是否所有的相反數都成對出現？有特殊的嗎？學生通過討論得出：
除0以外，相反數是成對出現的。本節課借助數軸，幫助學生理解相反數的概念，進一步滲透數形結合的思想。教學中，從學生身邊的生活例項入手，先從互為相反數的兩數在數軸上的特徵，即它們分別位於原點的兩旁，且與原點距離相等的例項出發，讓學生帶著問題觀察數軸上的點，鼓勵學生用自己的語言說出猜想，揭示這兩數的幾何形象。
充分利用計算機課件的直觀性幫助學生驗證猜想，增強對相反數概念的感性認識，充分利用數軸幫助思考，把乙個抽象的相反數的概念，化為直觀的幾何形象。在這種情況下給出互為相反數的定義：只有符號不同的兩個數稱互為相反數。
特別地規定：0的相反數是0。學生從「數」和「形」兩個方面認識相反數概念的本質特徵，體會數形結合的思想，顯得自然親切，水到渠成，同時也讓學生在數形結合的思想方法的引領下感受到了成功，初步領略和嘗試了它的功用，是乙個非常好的滲透背景。
在初中學習函式知識的時候，更是借助於函式的圖象來**函式的知識，這是數形結合思想的最生動的應用。下面以北京市義務教育課程改革實驗教材數學第16冊第15章第6節「一次函式的性質」的教學為例，談談教學中的一些設計與感受。
1．教學背景分析
本節課在學生學習了一次函式的概念、一次函式的解析式、一次函式的圖象等知識的基礎上，重點研究一次函式的性質。一次函式的學習，給出了研究函式的基本模式，對今後研究反比例函式、二次函式等具有重要的示範作用。一次函式的性質是本章知識的核心內容，尤其是**一次函式性質的過程，對培養學生的觀察力、抽象概括能力以及「數形結合」的意識具有促進作用。
因此，我確定了本節課的教學重點是：一次函式的性質。
我所任教的初二年級學生對合作**學習非常感興趣，敢於大膽發表自己的見解和看法，
通過完成課前布置的作業，學生已掌握一次函式圖象的畫法，初步感受到一次函式y=kx+b（k≠0）中k、b對函式圖象具有一定的影響，這對於本節課的學習很有幫助，但由於學生識圖能力、數形結合意識和抽象歸納能力較弱，因此，我確定了本節課的教學難點是：一次函式性質的探索與應用。
根據數學課程標準中關於「一次函式的性質」的教學要求，和對教材、學生的分析，結合我班學生已有的經驗和知識基礎，我確定了本節課的教學目標：
（１）理解一次函式y=kx＋b（k≠0）的性質（增減性），會用一次函式性質解決簡單問題；
（２）經歷觀察、歸納、探索一次函式性質的過程，體會數形結合的思想方法，提高觀察、識圖能力；
（３）在合作交流活動中，享受**發現知識的樂趣，培養學生勇於探索和勤於思考的精神。
2．教學過程的設計
⑴創設情境，匯入新課
我用多**出示曾經**過的以地鐵5號線為背景的實際問題，得到了路程s（公里）與行駛時間t（小時）之間的函式關係式為：。觀察地鐵行駛的過程，並結合這個函式的圖象，學生很容易發現：距離宋家莊的路程s（公里）隨著行駛時間t（小時）的增加而減少。
我適時地追問學生：你知道這是為什麼嗎？本階段從學生身邊的生活例項入手，激發學生發現問題、**問題、解決問題的慾望。
⑵合作**，學習新知
我採用「小組討論，探索發現→展示交流，總結規律→直觀驗證，歸納性質→解決問題，反思感悟」的模式，層層深入展開教學。
小組討論，探索發現
由於學生在課前已經完成了畫四組一次函式圖象的作業（作業附在後面），首先，我和學生一起訂正、修改、完善作業，得到四組正確的函式圖象。
接著，我把學生分成小組，圍繞作業中的**思考問題，進行充分地討論交流，從而發現規律。問題1：每組函式的解析式有什麼共同特點？問題2：從每組函式圖象中，你發現了哪些規律？
我參與學生討論，對於發現規律的學習小組，給予及時的鼓勵表揚，並鼓勵他們用簡練的語言，歸納概括所發現的規律。
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