初中數學中蘊含的數學思想很多，其中最主要的數學思想方法包括轉化思想、數形結合思想、分類討論思想、函式與方程思想等．
(1) 轉化思想．轉化思想就是人們將需要解決的問題，通過演繹、歸納等轉化手段，歸結為另一種相對容易解決或已經有解決方法的問題，從而使原來的問題得到解決．轉化思想體現在數學解題過程中就是將未知的、陌生的、複雜的問題通過演繹和歸納轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題．
初中數學中諸如化繁為簡、化難為易、化未知為已知等均是轉化思想的具體體現．具體而言，代數式中加法與減法的轉化，乘法與除法的轉化，用換元法解方程，在幾何中新增輔助線，將四邊形的問題轉化為三角形的問題，將一些角轉化為圓周角並利用圓的知識解決問題等等都體現了轉化思想．在初中數學中，轉化思想運用的最為廣泛．
(2) 數形結合思想．數學是研究現實世界空間形式和數量關係的科學，因而，在某種程度上可以說數學研究是圍繞著數與形展開的．初中數學中的「數」就是代數式、方程、函式、不等式等符號表示式，初中數學中的「形」就是圖形、圖象、曲線等形象表示式．數形結合思想的實質是將抽象的數學語言（「數」 ) 與直觀的圖象 (「 形「 ) 結合起來，數形結合思想的關鍵就是抓住「數」與「形」之間本質上的聯絡，以「形」直觀地表達「數」，以「數」精確地研究「形」，實現代數與幾何之間的相互轉化．數形結合思想包括「以形助數」和「以數輔形」兩個方面，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化．「數無形時不直觀，形無數時難入微．」數形結合是研究數學、解決數學問題的重要思想，在初中數學中有著廣泛應用．
譬如，在初中數學中，通過數軸將數與點對應，通過直角座標系將函式與圖象對應均體現了數形結合思想的應用．再比如，用數形結合的思想學習相反數、絕對值等概念，學習有理數大小比較的法則，研究函式的性質等，從形象思維過渡到抽象思維，從而顯著降低了學習難度．
(3) 分類討論思想．分類討論思想就是根據數學物件本質屬性的共同點和差異點，將數學物件區分為不同的種類．分類是以比較為基礎的，它有助於揭示數學物件之間的內在聯絡與規律，有助於學生總結歸納數學知識、解決數學問題．
譬如，初中數學從整體上看分為代數、幾何、概率統計等幾大版塊，並分別採用不同方法進行研究，就是分類思想的體現．具體而言，實數的分類，方程的分類、三角形的分類、函式的分類、統計量的分類等等，都是分類思想的具體體現．分類思想在初中數學中有大量運用，從初中數學內容的組織與展開到數學概念的界定與劃分再到數學問題的分析與解決都大量運用著分類思想．
(4) 函式與方程思想．函式與方程思想就是用函式的觀點和方法分析問題、解決問題．函式思想是客觀世界中事物運動變化、相互聯絡、相互制約的普遍規律在數學中的具體反映．函式與方程思想的本質是變數之間的對應，即用變化的觀點和函式的形式將所研究的數量關係表示出來，然後用函式的性質進行研究，從而使問題獲得解決．如果函式的形式用解析式的方式表示，那麼就可以將函式解析式看作方程，並通過解方程和對方程的研究使問題得到解決，這就是方程思想．
譬如初中數學中大量涉及一次函式、反比例函式、二次函式等內容的數學問題都要用到函式與方程思想來解決．由於函式思想與方程思想的內容和形式相一致，因而往往將其並稱為函式與方程思想，並將二者結合學習與運用．
除上述幾種主要的數學思想之外，初中數學中還有集合思想、對應思想、符號化思想、公理化思想等．初中數學主要包括如下基本的數學方法：（ 1 ）幾種重要的科學思維方法：比較與分類、觀察與嘗試、分析與綜合、概括與抽象、特殊與一般、歸納與模擬等；（ 2 ）幾種重要的推理方法：
完全歸納法、綜合法、分析法、反證法、演繹法等；（ 3 ）幾種常用的求解方法：待定係數法、數學建模法、配方法、消元法、換元法、構造法、座標法、引數法等．
1、配方法
所謂配方，就是把乙個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成乙個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是數學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函式的極值和解析式等方面都經常用到它。
2、因式分解法
因式分解，就是把乙個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎，它作為數學的乙個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定係數等等。
3、換元法
換元法是數學中乙個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在乙個比較複雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的乙個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易於解決。
4、判別式法與韋達定理
一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬於r，a≠0）根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函式乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。
韋達定理除了已知一元二次方程的乙個根，求另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函式，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。
5、待定係數法
在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的係數，而後根據題設條件列出關於待定係數的等式，最後解出這些待定係數的值或找到這些待定係數間的某種關係，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定係數法。它是中學數學中常用的方法之一。
6、構造法
在解題時，我們常常會採用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是乙個圖形、乙個方程(組)、乙個等式、乙個函式、乙個等價命題等，架起一座連線條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利於問題的解決。
7、反證法
反證法是一種間接證法，它是先提出乙個與命題的結論相反的假設，然後，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明乙個命題的步驟，大體上分為：
(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。
反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是；存在、不存在；平行於、不平行於；垂直於、不垂直於；等於、不等於；大(小)於、不大(小)於；都是、不都是；至少有乙個、乙個也沒有；至少有n個、至多有(n一1)個；至多有乙個、至少有兩個；唯
一、至少有兩個。
歸謬是反證法的關鍵，匯出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。匯出的矛盾有如下幾種型別：
與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。
8、面積法
平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關的性質定理，不僅可用於計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關係來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。
用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯絡起來，通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關係變成數量之間的關係，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。
9、幾何變換法
在數學問題的研究中，常常運用變換法，把複雜性問題轉化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是乙個集合的任一元素到同一集合的元素的乙個一一對映。中學數學中所涉及的變換主要是初等變換。
有一些看來很難甚至於無法下手的習題，可以借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結合起來，有利於對圖形本質的認識。
幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉；（3）軸對稱。
10、客觀性題的解題方法
選擇題是給出條件和結論，要求根據一定的關係找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學生的基礎知識和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識覆蓋面。
填空題是標準化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標明確，知識覆蓋面廣，評卷準確迅速，有利於考查學生的分析判斷能力和計算能力等優點，不同的是填空題未給出答案，可以防止學生猜估答案的情況。
要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準確的計算、嚴密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過例項介紹常用方法。
（1）直接推演法：直接從命題給出的條件出發，運用概念、公式、定理等進行推理或運算，得出結論，選擇正確答案，這就是傳統的解題方法，這種解法叫直接推演法。
（2）驗證法：由題設找出合適的驗證條件，再通過驗證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗證，找出正確答案，此法稱為驗證法（也稱代入法）。當遇到定量命題時，常用此法。
（3）特殊元素法：用合適的特殊元素（如數或圖形）代入題設條件或結論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。
（4）排除、篩選法：對於正確答案有且只有乙個的選擇題，根據數學知識或推理、演算，把不正確的結論排除，餘下的結論再經篩選，從而作出正確的結論的解法叫排除、篩選法。
（5）**法：借助於符合題設條件的圖形或圖象的性質、特點來判斷，作出正確的選擇稱為**法。**法是解選擇題常用方法之一。
（6）分析法：直接通過對選擇題的條件和結論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結果，稱為分析法。
喬治·波利亞（g.polya，1887-2023年）出生於匈牙利布達佩斯。上中學時，他就是乙個很有上進心的學生。
但每當遇到較難的數學題時，他也時常感到困惑：「這個解答好像還行，它看起來是正確的，但怎樣才能想到這樣的解答呢？這個結論好像還行，它看起來是個事實，但別人是怎樣發現這個事實的？
我自己怎樣才能想出或發現他們呢？」
波利亞帶著一連串的困惑與2023年走進了布達佩斯大學，並在那裡獲得博士學位。之後，波利亞先後到哥廷根大學、巴黎大學、瑞士聯邦工學院進行數學研究或任教。2023年移居美國，並在史丹福大學任教，直到退休。
無論在學習期間或任教期間，波利亞始終不忘研究少年時學數學所遇到的困惑。2023年8月，波利亞終於將他的研究成果公布於世，這就是名著《怎樣解題表》。該書出版後，不脛而走，迅速傳遍全世界。
直到今天，該書仍被各國數學教育界奉為經典。
波利亞在《how to solve it》中另外還舉了下面這個例子：
乙個原始人站在一條小溪前，他想要越過這條小溪，但溪水經過昨天一夜，已經漲了上來；因此他面臨乙個問題：如何越過這條小溪。他聯想起以前曾經從一棵倒下並橫在河上的樹木上走過去，於是他的問題變成了如何找到這樣一顆倒下並橫在溪流上的樹木。
他環顧四周，發現溪流上沒有這樣的橫著的樹木，但他發現周圍倒是有不少生長著的樹木；於是問題再次變成了：如何使這些樹木躺到溪流上。
在這個想像的故事中我們看到了乙個問題是如何被一步步歸約的：首先，原始人通過對乙個已知的類似問題的聯想認識到乙個重要的性質：如果有一棵樹橫在河上，我就可以借助這棵樹過河。
這就將乙個無法直接解決的問題轉化為了乙個新的、已知的、並容易解決的問題。
反過來推導。反過來推導是一種極其重要的啟發法，正如前面提到的，pappus在他的巨集篇巨著中將這種手法總結為解題的最重要手法。實際上，反向解題隱含了解題中至為深刻的思想：
歸約。歸約是一種極為重要的手法，乙個著名的關於歸約的笑話這樣說：有一位數學家失業了，去當消防員。
經過了一些培訓之後，正式上任之前，訓練的人考他：如果房子失火了怎麼辦？數學家答出了所有的正確步驟。
訓練人又問他：如果房子沒失火呢？數學家答：
那我就把房子點燃，這樣我就把它歸約為了乙個已知問題。人類思維本質上善於「順著」推導，從一組條件出發，運用必然的邏輯關係，得出推論。然而，如果要求的未知量與已知量看上去相隔甚遠，這個時候順著推實際上就是運用另乙個啟發式方法——試錯——了。
雖然試錯是最常用，又是也是最有效的啟發法，然而試錯卻並不是最高效的。對於許多題目而言，其要求的結論本身就隱藏了推論，不管這個推論是充分的還是必要的，都很可能對解題有幫助。如果從結論能夠推導出乙個充要推論，那麼實際上我們就將問題進行了一次「雙向」歸約，如果原問題不容易解決，那麼歸約後的問題也許就容易解決了，通過一層層的歸約，讓邏輯的枝蔓從結論上一節節的生長，我們往往會發現，離已知量越來越近。
此外，即便是從結論推導出的必要非充分推論（「單向」歸約），對問題也是有幫助的——任何不滿足這個推論的方案都不是問題的解：
「怎樣解題表」就是《怎樣解題》一書的精華，該錶被波利亞排在該書的正文之前，並且在書中再三提到該錶。實際上，該書就是「怎樣解題表」的詳細解釋。波利亞的「怎樣解題表」將解題過程分成了四個步驟，只要解題時按這四個步驟去做，必能成功。
同學們如果能在平時的做題中不斷實踐和體會該錶，必能很快就會發出和波利亞一樣的感嘆：「學數學是一種樂趣！」
第一，你必須弄清問題
弄清問題
未知數是什麼？
已知資料（指已知數、已知圖形和已知事項等的統稱）是什麼？
條件是什麼？
滿足條件是否可能？
初中數學教學中數學思想方法的滲透
二 在數學教學中應滲透的主要的數學思想方法 在數學教學中至少應該向學生滲透如下幾種主要的數學思想 分類討論思想 數形結合思想 化歸與轉化思想 函式與方程思想。除以上四大主要數學思想外還有很多如 整體思想 變換思想等。1 分類討論思想 在義務教育初中數學教材中，有許多教學內容蘊含著豐富的分類思想方法。...
初中數學教學中數學思想方法的滲透
摘要 數學思想方法是學生養成良好學習架構的橋梁，不僅對學生的學習具有普遍的影響，同時幫助學生養成解決事情的正確的思維方式與思維習慣。數學知識體系建立在數學概念之上，而數學概念是數學思想和方法的媒介，所以初中教學中，很有必要把數學思想方法擺在乙個十分重要的位置。關鍵詞 初中數學思想方法初中教學滲透 1...
初中數學教學中數學思想方法的滲透
數學思想和方法是數學知識的精髓，又是知識轉化為能力的橋梁。新課程把數學思想 方法作為基礎知識的重要組成部分，在數學 新課程標準 中明確提出來，這不僅是課標體現義務教育性質的重要表現，也是對學生實施創新教育 培訓創新思維的重要保證。一 了解 數學新課標 要求，把握教學方法1.新課標要求，滲透 層次 教...