集合中的數學思想方法

數學思想是歷年高考的重點。其包括:數形結合思想、等價轉化思想、分類討論思想、函式與方程思想等。下面通過例題透視集合中的數學思想。

一、數形結合思想

數形結合思想就是把抽象的數和直觀的形雙向聯絡與溝通,使抽象思想與形象思維有機地結合起來化抽象為形象,以期達到化難為易的目的。

例1已知為全集,集合為的子集,且=,,,那麼集合等於( )

a b c d

解:由於集合將全集劃分為四個子集: 、、、.所以借助於文氏圖, 可迅速做出判斷,如圖, 易知

=()()()i().將已知元素填入相應的集合,易知.即,且.故應

二、等價轉化思想

等價轉化思想就是在解答問題時，需要對所給定的條件進行轉化，只有通過轉化，給定的條件才能以有效利用。

例2已知集合,且,則實數組成的集合是_______.

解:是的子集

又是的真子集

或或當時,

當時,解得

當時,解得

的值組成的集合是

三、分類討論思想

分類討論的思想就是整體問題化為部分問題來解決,它是邏輯劃分思想在解數學題中的具體運用.

例3設集合,集合.若是的子集,求實數的取值範圍.

解:是的子集

可能為、、或

方程中,

⑴若或,則,為的子集

⑵若,原方程為,為的子集

⑶若,原方程為,為的子集

⑷若,則,原方程有兩個相異實根

由是的子集得,解得

綜上得,當時, 是的子集

四、函式與方程思想

函式與方程思想就是將函式問題轉化為方程問題，借助於二次方程的判別式列式求解。

例4設,,,是否存在,使得,證明此結論.

解: 且

此不等式有解,其充要條件是,即 ①

從而即 ②

由①②及,得代入由和組成的不等式組,

得故存在自然數,使得

五、運用正難則反的補集思想解題

例5已知函式,在區間上至少存在乙個實數使,求實數的取值範圍.

解:運用補集概念求解

設所求的範圍為a,則

注意到函式的圖象開口向上

練習題關於的不等式與

的解集分別為a和b,求使的的取值範圍.

解:運用子集概念求解

由已知得,

當時,對任意實數,不等式恆成立

當時,此時綜上所述,所求的取值範圍是或

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