勾股定理是反映自然界基本規律的一條重要結論，它有著悠久的歷史，在數學發展中起著重要的作用．它揭示了乙個直角三角形三條邊之間的數量關係，把數與形統一起來，在現實世界中有著廣泛的應用．
勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那麼；
逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那麼這個三角形是直角三角形．
勾股定理揭示了直角三角形三邊關係的重要性質；它的逆定理則是從三角形三邊關係判定三角形是否是直角三角形的乙個方法．
學習《勾股定理》這一章，除了掌握上述兩個定理之外，還應了解：這一章中蘊含著哪些重要的數學思想方法？在運用勾股定理解題時，若能正確地把握數學思想，則可思路開闊，方法簡便快捷，下面舉例說明，供同學們參考．
一、數形結合思想
勾股定理本身就是數形結合的定理，它的驗證和應用，都體現了數形結合的思想．
例1．如圖1是一種「羊頭」形圖案，其做法是：從正方形①開始，以它的一邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然後再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和②′，…，然後依次類推，若正方形1的邊長為64cm，則正方形的邊長為cm．
析解：這是一類關於「勾股樹」（國外叫做「畢達哥拉斯樹」）的**題，主要考查靈活運用勾股定理解決問題的能力，這裡只要由勾股定理的規律通過一系列的探索就可以得到答案是8．
例2．有一直立標桿，它的上部被風吹折，桿頂著地，離杆腳20cm，修好後又被風吹杆，因新斷處比前次低了5cm，且標桿頂著地處比前次遠10cm，求標桿的高．
析解：依題意作圖如2，數形結合求解，設第一次吹折後下段ab的長為xcm，上段bc的長為ycm，第二次折後下段ad的長為（x-5）cm，上段de的長為（y+5）cm，依題意得
只要求出x+y的值即求出標桿的高而不必單獨求x與y的值．
②-①得10（x+y）=500
∴x+y=50
故標桿的高為50cm
評析：利用三邊的平方關係或輔助線或生活常識可獲得直角三角形，進而可求邊長或面積．數形結合思想是數學中的重要思想方法，它可以使抽象的知識轉化為形象的圖形，從而處理起來，更直觀、容易，應引起同學們的重視．
二、方程思想
例3．在印度數學家拜·斯加羅的著作中，記載了乙個有趣的「荷花問題」：
「平平湖水清可鑑，面上半尺聲紅蓮；
出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊；
漁人**忙向前，花離原位二尺遠；
能算諸君請解題，湖水如何知深淺？」，
請你用學過的數學知識回答這個問題．
析解：此詩的大意是：在平靜的湖面上，有一朵荷花高出水面0.
5尺，忽然一陣狂風把荷花吹在水中淹沒了，最後荷花垂直落到湖底，到了秋天，漁翁發現，落到湖底的荷花離根部有2尺遠，如圖，你知道這個湖的水深是多少尺嗎？解答過程應該是這個樣子的：
設水深為x尺，根據勾股定理，可得，
所以x=3.75，故這個湖的水深是3.75尺．
三、轉化思想
例4．如圖3所示，有一根高為的木柱，它的底面周長為，為了營造喜慶的氣氛，老師要求小明將一根彩帶從柱底向柱頂均勻地纏繞圈，一直纏到起點的正上方為止，問：小明至少需要準備多長的一根彩帶？
分析與解：（1）將一張直角三角形的紙片在鉛筆上纏繞七圈，將紙片展開，發現彩帶的長相當於直角三角形的斜邊長（如圖4），可以利用勾股定理求出彩帶的長．
∵為木柱的高，∴.
又∵木柱的底面周長為，∴的長為．
在中，由勾股定理，得，
因此彩帶的長為．
（2）在木柱上均勻地纏繞圈，相當於將木柱分成相等的七段，在每一段木柱上由底向正上方纏繞一根彩帶，其側面展開圖是乙個矩形，對角線的長為每段彩帶的長（如圖5）．
∵為木柱的，∴.
又∵為木柱展開後的底面周長，∴.
在中，由勾股定理，得，
∴，因此，彩帶的長為．
評析：遇到一些空間問題，通過動手實際操作一下，建立實物模型，這是建立空間概念的良好訓練方法；而對實際問題進行分解、轉化是數學解題中常用的思路．
四、分類討論思想
例5．如圖6是一塊長、寬、高分別為6厘公尺、4厘公尺、3厘公尺的長方題木塊．乙隻螞蟻要從木塊的一定點a處，沿著長方體的表面到長方體上和a相對的頂點b處吃食物，那麼它需要爬行的最短路徑的長是（ ）．
a.厘公尺 b.厘公尺 c. 厘公尺 d.9厘公尺
分析：這個問題是個空間問題，應該把他平面化．所以將長方體展開是解決本題的關鍵．
分類一：我將長方體相鄰兩側面展開可得圖7，由圖7，可得=109．
分類二：我展開的圖形和小敏的不一樣，我的展開圖如圖8，根據圖8可得=85．
分類三：我還有一種展開的方法，請大家看圖9，這個時候我可得=97．
評析：同學們思考的都非常有道理，通過比較我們可以發現沿圖8的爬行路徑路程最短，所以厘公尺．故選c．
五、整體思想
例6：（課本題）已知a、b、c分別是rt△abc的兩條直角邊和斜邊，且a+b=14，c=10，則s△abc
分析：一般的想法，要求直角三角形的面積，先求出其兩條直角邊a、b，則s△abc即可求出，但這樣求a、b非常繁雜，甚至在現階段不可能，如果注意到：s△abc=，那麼只要求出ab這一整體就可以了．
解、由a+b=14，兩邊平方得：a2+2ab+b2=196，
所以ab=
根據勾股定理，a2+b2=c2
所以，ab===48
因此s△abc==48
例7：如圖10，長為3厘公尺，長為4厘公尺，長為13厘公尺．求正方形的面積．
分析：一般的想法，要求出正方形的面積，先求出其邊長；要求出，先要求出．好，現在我們就順著這個思路來求．在中，，所以，在中，，為多少？數不夠用了！
我們再去看一下題目，是讓求正方形的面積，正方形的面積為，何必去求，只要求出這個「整體」就可以，原來正方形的面積為194，我們已經求出來了！（解答過程請同學們完成）
評析：整體思想，有時可以便問題直奔主體，少走彎路，使問題的解決方便、快捷，在一定程度上，體現了解題者的目標意識．
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