第六章相關與回歸分析
一、教學目的：
通過本章學習，了解相關與回歸的概念、特點、分類等，掌握相關係數的計算、回歸方程的確定，並能根據實際資料進行相關分析和回歸**。
二、重點、難點
相關係數的意義和計算、回歸分析中回歸係數的確定、統計意義、根據實際資料進行相關分析和回歸**。
第一節相關分析
一、相關分析的概念
1、 相關關係：當乙個或多個變數取一定值，與其相對應的另一變數的值雖然不確定，但它按一定的規律在一定範圍內變化，這種不確定的關係就是相關關係。
2、 相關分析：研究相關關係的統計分析分析方法。具體地說，相關分析是研究乙個變數和另乙個變數或另一組變數之間相關和相關密切程度的一種統計分析方法。
3、 相關分析的特點：
（1）其研究物件相關關係泛指兩個變數之間的相互依存關係，兩個相對應的變數，地位相等沒有自變數和因變數之別。
（2）按變數是否隨機變數，可分為固定相關分析和隨機相關分析。前者研究物件中乙個是隨機變數另乙個為非隨機變數；後者研究物件都是隨機變數。
二、相關關係的種類
1、按相關關係涉及的變數（因素）的多少，分為單相關和復相關。
2、按相關形式分為線性相關與非線性相關
3、按相關方向分為相關與負相關
4、按變數之間的相關程度來分，分為完全相關、不完全相關、不相關
三、相關關係的表示
相關關係的表示方法有兩種：相關圖表、相關係數
（一） 相關圖表
一般用來定性的分析線性之間的依存關係。
一般用散點圖表示：即在直角座標系中，將兩個變數（乙個定為x，另乙個定為y）通過描點的方式表示出來，然後觀察其變化軌跡。
（二） 相關係數
1、 用來反映兩個變數之間的線性關係程度及其相關方向。是由著名統計學家卡爾.皮爾遜設計的。
2、 相關係數的計算
分為：總體相關係數和樣本相關係數
總體相關係係數用表示，用來表示現象總體之間的相關程度。
公式：（式中的x,y都是總體資料）
樣本相關係數（用r表示）是總體相關係數（）的估計量。是通過樣本資料計算。
公式變形：、，、（
根據給定資料不同選擇合適的公式
3、 相關係數的性質第一、
第二、當r=0時，表示y與x無關，即x與y完全沒有線性相關。
第三、當時，表示x與y存在著一定的線性相關。當的數值越大，越接近1，表示x與y的線性相關程度越高。一般認為：第
四、當r>0時，表示x與y正相關
第五、當r<0時，表示x與y負相關
例題：1、已知n=12，，求x與y相關程度。
2、已知n=12，，求x與y相關程度。
答案：1、
==-0.839 說明x與y高度負相關
2、=0.68
說明x與y顯著正相關
第二節簡單線性回歸
一、 回歸分析的概念
1、 回歸關係：是指現象之間有一定方向的相互關係。在回歸關係中，兩個變數乙個為自變數、另乙個為因變數。地位非對稱（自變數是非隨機變數、因變數是隨機變數）
2、 回歸分析：就是對具有相關關係的多個變數之間的數量變化進行測定，配合一定的方程（模型），以便對因變數進行估計或**的引種統計方法。
3、 回歸方程：根據回歸分析得出的表示式稱為回歸方程（或回歸模型），有許多形式，直線的或曲線的
4、 簡單直線回歸模型（或簡單直線方程）：表示兩個變數之間相互關係的方程。
二、 簡單回歸方程
（一） 簡單回歸模型的形式
從乙個總體來看，反映兩個變數依存關係的線性模型一般有兩種：
第一、 y=a+bx+,y表示總體的因變數，是隨機變數；x表示總體的自變數，一般為可控的非隨機變數；a、b是模型的引數；為隨機誤差，表示所有未被考慮的因素所形成的誤差。y受x和的共同影響。
第二、 e(y)=a+bx；表示當表示當x給定乙個確定的數值時，便可以得到與值對應的便可以得到與值對應的e(y)的值。
（二） 簡單回歸方程的假設前提
1、隨機誤差項的期望值為0。即e()=0
2、 隨機誤差項的方差為常數。即v()=0
3、 隨機誤差項之間不存在序列相關關係，即（i≠j）
4、 自變數x與隨機誤差項線性無關。
5、 隨機誤差項服從正態分佈，x~n(0,),所以因變數也服從正態分佈，即
三、 回歸方程的確定
1、總思路：從總體中抽取部分單位作為樣本，以樣本的資料推斷總體，即依據樣本的回歸模型來推斷總體回歸模型。
一元線性的樣本回歸模型為：
第一、 y=a+bx+。
第二、 。其中：是總體期望值e(y)的估計式；a、b為回歸係數，其中：a為回歸常數，表示當x 為0時，y的取值。b為回歸係數，表示自變數每增加一單位因變數增加的量。
2、估計待定引數a、b的方法
最小二乘法。即「離差平方和最小的原則」。形如：。從而使估計誤差最小。回歸引數a、b應滿足下列條件： =最小值
得出：、
1、 回歸係數與相關係數的關係：
總結：求回歸係數的步驟：
第一、 求x ，y的均值、方差
第二、 求x、y的相關係數
第三、 求回歸係數b
第四、 求回歸常數a
第五、將回歸係數a、b代入回歸方程，即為所求回歸方程。
四、 回歸估計
回歸估計就是給定乙個自變數x的取值，估計相應的因變數y的取值。
回歸估計的必要說明：回歸估計只能做內涵估計，不能做外延估；因為因變數是乙個隨機變數，所以估計的是y的均值不是具體值。也可做區間估計。
例題：下表是某企業的職工工齡和其勞動生產率對照表：
求：x、y的回歸方程，並估計當x=8時，y的取值
解：第一步：利用計算器求x的均值方差： 7.25， =2.85
第二步：求xy、y的均值： =63.35， =8.5
第三步：求回歸係數b： ==0.604
第四步：求回歸常數a ：
第五步：寫出回歸方程：
第六步：估計：
將x=8代入回歸方程： =4.12+0.604*8=8.952
作業：7、以下是某彩電廠月產量與月生產的總成本的實際材料。
依據上表材料：繪製散點圖、計算相關係數、擬合一元回歸方程、假定明年第一季度各月計畫產量分別為：9000、12000、15000臺，求各月的預計生產總成本。
解：r=0.98、b=0.24112、a=1157.563、回歸方程：
當x=9000時，
x=12000時，
x=15000時，
8、某縣城研究居民月家庭人均生活費支出和月家庭收入的相互關係，隨機抽樣10戶進行調查，其結果如下
利用上表材料：繪製散點圖、計算相關係數、測算人均收入為200元時，其人均生活費應為多少？
答案：r=0.97612、回歸方程為：
當x=200元時，
思考題一、單項選擇題
1、現象之間相互關係的型別有（ ）。
a．函式關係和因果關係 b．相關關係和函式關係
c．相關關係和因果關係 d．回歸關係和因果關係
2、相關關係是（ ）。
a．現象之間客觀存在的依存關係
b．現象之間客觀存在的、關係數值固定不變的依存關係
c．現象之間客觀存在的、關係數值不是固定的依存關係
d．函式關係
3、在相關分析中，要求相關的兩個變數（ ）。
a．都是隨機的 b．都不是隨機的
c．其中因變數是隨機變數 d．其中自變數是隨機變數
4、相關分析是研究（ ）。
a．變數之間的數量關係 b．變數之間的變動關係
c．變數之間相互關係的密切程度 d．變數之間的因果關係
5、兩個變數之間的相互關係稱為（ ）。
a．單相關 b．復相關 c．零相關 d．多元相關
6、判定現象之間相關關係密切程度的主要方法是（ ）。
a．編制相關表 b．進行定性分析
c．繪製相關圖 d．計算相關係數
7、相關係數（ ）。
a．只適用於直線相關 b．只適應於曲線相關
c．既適用於直線相關，又適應於曲線相關
d．既不適用於直線相關，又不適應於曲線相關
8、在計算相關係數之前，必須對兩個變數進行（ ）。
a．定性分析 b．定量分析 c．回歸分析 d．可比分析
9、相關係數的取值範圍是（ ）。
a．r=0 b．-1≤r≤0 c．0≤r≤1 d．-1≤r≤1
10、現象之間相互依存關係程度越低，則相關係數（ ）。
a．越接近於0 b．越接近於－1
c．越接近於+1 d．越接近於0.5
11、配合回歸直線最合理的方法（ ）。
a．隨手畫線法 b．半數平均法
c．最小平方法 d．移動平均法
12、在回歸直線中，b表示（ ）。
a．當x 增加乙個單位時，y的平均增加量
b．當y 增加乙個單位時，x的平均增加量
c．當x 增加乙個單位時，y增加a的數量
d．當y 增加乙個單位時，x增加b的數量
13、當所有觀察值都落在回歸直線上，則x與y之間的相關係數（ ）。
a．r=0 b．-114、在回歸直線中，若b>0，則x與y之間的相關係數（ ）。
a．r=0 b．r=1 c．015、估計標準誤差是反映（ ）的指標。
a．平均數代表性 b．序時平均數代表性
c．回歸直線代表性 d．現象之間的相關關係
16、當兩個相關變數之間只能配合一條回歸直線時，那麼這兩個變數之間的關係（ ）。
a．存在明顯的因果關
b．不存在明顯的因果關係，而存在相互聯絡
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