特殊的平行四邊形
a級基礎題
1．(2023年四川宜賓)矩形具有而菱形不具有的性質是( )
a．兩組對邊分別平行 b．對角線相等 c．對角線互相平分 d．兩組對角分別相等
2．(2023年四川巴中)如圖4335，菱形abcd的兩條對角線相交於點o，若ac＝6，bd＝4，則菱形abcd的周長是( )
圖4335
a．24 b．16 c．4 d．2
3．(2023年海南)如圖4336，將△abc沿bc方向平移得到△dce，連線ad，下列條件中能夠判定四邊形aced為菱形的是( ) 新課標第一網
a．ab＝bc b．ac＝bc c．∠b＝60° d．∠acb＝60°
圖4336 圖4337 圖4338 圖4339
4．(2023年內蒙古赤峰)如圖4337,4×4的方格中每個小正方形的邊長都是1，則s四邊形abdc與s四邊形ecdf的大小關係是( )
a．s四邊形abdc＝s四邊形ecdf b．s四邊形abdc < s四邊形ecdf
c．s四邊形abdc＝s四邊形ecdf＋1 d．s四邊形abdc＝s四邊形ecdf＋2
5．(2023年四川涼山州)如圖4338，菱形abcd中，∠b＝60°，ab＝4，則以ac為邊長的正方形acef的周長為( )
a．14 b．15 c．16 d．17
6．(2023年湖南邵陽)如圖4339，將△abc繞ac的中點o按順時針旋轉180°得到△cda，新增乙個條件使四邊形abcd為矩形．
7．(2023年寧夏)如圖4340，在矩形abcd中，點e是bc上一點，ae＝ad，df⊥ae，垂足為f.
求證：df＝dc.
圖4340
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8．如圖4341，在△abc中，∠b＝90°，ab＝6 cm，bc＝8 cm.將△abc沿射線bc方向平移10 cm，得到△def，a，b，c的對應點分別是d，e，f，連線ad.求證：
四邊形acfd是菱形．
圖4341
9．(2023年遼寧鐵嶺)如圖4342，在△abc中，ab＝ac，ad是△abc的角平分線，點o為ab的中點，連線do並延長到點e，使oe＝od，連線ae，be.
(1)求證：四邊形aebd是矩形；
(2)當△abc滿足什麼條件時，矩形aebd是正方形，並說明理由．
圖4342
b級中等題
10．(2023年四川南充)如圖4343，把矩形abcd沿ef翻摺，點b恰好落在ad邊的b′處，若ae＝2，de＝6，∠efb＝60°，則矩形abcd的面積是( )
a．12 b. 24 c. 12 d. 16
圖4343 圖4344 圖4345
11．(2023年內蒙古呼和浩特)如圖4344，在四邊形abcd中，對角線 ac⊥bd，垂足為o，點e，f，g，h分別為邊ad，ab，bc，cd的中點．若ac＝8，bd＝6，則四邊形efgh 的面積為________．w w w . x k b 1.c o m
12．(2023年福建莆田)如圖4345，正方形abcd的邊長為4，點p在dc邊上，且dp＝1，點q是 ac上一動點，則dq＋pq的最小值為
13．(2023年山東青島)已知：如圖4346，在矩形abcd中，m，n分別是邊ad，bc的中點，e，f分別是線段bm，cm的中點．
(1)求證：△abm≌△dcm；
(2)判斷四邊形menf是什麼特殊四邊形，並證明你的結論；
(3)當ad∶ab時，四邊形menf是正方形(只寫結論，不需證明)．
圖4346
c級拔尖題
14．(2023年內蒙古赤峰)如圖4347，在rt△abc中，∠b＝90°，ac＝60 cm，∠a＝60°，點d從點c出發沿ca方向以4 cm/s的速度向點a勻速運動，同時點e從點a出發沿ab方向以2 cm/s的速度向點b勻速運動，當其中乙個點到達終點時，另乙個點也隨之停止運動．設點d，e運動的時間是t s(0 < t ≤ 15)．過點d作df⊥bc於點f，連線de，ef.
(1)求證：ae＝df；
(2)四邊形aefd能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，請說明理由；
(3)當t為何值時，△def為直角三角形？請說明理由．新課標第一網
圖4347
特殊的平行四邊形
1．b 2.c 3.b 4.a 5.c
6．∠b＝90°或∠bac＋∠bca＝90°
7．證明：∵四邊形abcd是矩形，
∴ab＝cd，ad∥bc，∠b＝90°.
∵df⊥ae，∴∠afd＝∠b＝90°.
∵ad∥bc，∴∠dae＝∠aeb.
又∵ad＝ae，∴△adf≌△eab.
∴df＝ab.∴df＝dc.
8．證明：由平移變換的性質，得
cf＝ad＝10 cm，df＝ac，
∵∠b＝90°，ab＝6 cm，bc＝8 cm，
∴ac2＝ab2＋cb2，即ac＝10 cm.
∴ac＝df＝ad＝cf＝10 cm.
∴四邊形acfd是菱形．
9．(1)證明：∵點o為ab的中點，oe＝od，
∴四邊形aebd是平行四邊形．
∵ab＝ac，ad是△abc的角平分線，
∴ad⊥bc.即∠adb＝90°.
∴四邊形aebd是矩形．
(2)解：當△abc是等腰直角三角形時，
矩形aebd是正方形．
∵△abc是等腰直角三角形，
∴∠bad＝∠cad＝∠dba＝45°.∴bd＝ad.
由(1)知四邊形aebd是矩形，x kb 1. c om
∴四邊形aebd是正方形．
10．d 11.12
12．5 解析：連線bp，交ac於點q，連線qd.∵點b與點d關於ac對稱，∴bp的長即為pq＋dq的最小值，
∵cb＝4，dp＝1.∴cp＝3，在rt△bcp中，
bp＝＝＝5.
13．(1)證明：在矩形abcd中，
ab＝cd，∠a＝∠d＝90°，
又∵m是ad的中點，∴am＝dm.
∴△abm≌△dcm(sas)．
(2)解：四邊形menf是菱形．證明如下：
e，f，n分別是bm，cm，cb的中點，
∴ne∥mf，ne＝mf.
∴四邊形menf是平行四邊形．
由(1)，得bm＝cm，∴me＝mf.
∴四邊形menf是菱形．
(3)2∶1 解析：當ad∶ab＝2∶1時，四邊形menf是正方形．理由：
∵m為ad中點，∴ad＝2am.
∵ad∶ab＝2∶1，∴am＝ab.
∵∠a＝90，∴∠abm＝∠amb＝45°.
同理∠dmc＝45°，∴∠emf＝180°－45°－45°＝90°.
∵四邊形menf是菱形，∴菱形menf是正方形．
14．解：(1)在△dfc中，∠dfc＝90°，∠c＝30°，dc＝4t，
∴df＝2t，又∵ae＝2t，∴ae＝df. 新課標第一網
(2)能．理由如下：
∵ab⊥bc，df⊥bc，∴ae∥df.
又∵ae＝df，∴四邊形aefd為平行四邊形．
當ae＝ad時，四邊形aefd是菱形，即60－4t＝2t.
解得t＝10 s，
∴當t＝10 s時，四邊形aefd為菱形．
(3)①當∠def＝90°時，由(2)知ef∥ad，
∴∠ade＝∠def＝90°.
∵∠a＝60°，∴ad＝ae·cos60°＝t.
又ad＝60－4t，即60－4t＝t，解得t＝12 s.
②當∠edf＝90°時，四邊形ebfd為矩形．
在rt△aed中，∠a＝60°，則∠ade＝30°.
∴ad＝2ae，即60－4t＝4t，解得t＝s.
③若∠efd＝90°，則e與b重合，d與a重合，此種情況不存在．
綜上所述，當t＝s或t＝12 s時，△def為直角三角形．
新課標第一網系列資料
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