某廠用一套裝置生產若干種產品。工廠靠銀行貸款籌集資金，現在為工廠制訂合理、易行的生產計畫，使得生產成本、準備費用以及儲存費用之和盡可能小。
(1)為了很好的解決穩定的、週期性生產計畫問題，我們建立了非線性規劃的模型。利用題中的條件找出各個約束條件，並且得出的費用最小的目標函式為：
(2)考慮到n種產品時，只是在乙個週期中輪換更替生產不同的產品，從而滿足每天對n中產品的需求，求解方法與思想與第一問相同。我們先在網上查詢優化一組資料進行驗證。當n=2時，運用lingo軟體求出最優計畫如下：
生產週期為7天，甲連續生產4天，每天生產525件；乙連續生產3天，每天生產467件。每個週期需要貸款的最少資金為182126.0。
生產計畫問題優化
一． 問題重述：
某廠用一套裝置生產若干種產品。工廠靠銀行貸款籌集資金，根據市場需求安排生產，現考慮以下的簡化情形：
1) 設生產甲乙兩種產品, 市場對它們的需求分別為d1,d2 (件/天)，該裝置生產它們的最大能力分別為u1,u2 (件/天)，生產成本分別為c1,c2 (元/件)。當改變產品時因更換零部件等引起的生產甲乙前的準備費用分別為 s1,s2(元)。生產出的產品因超過當天的需求而導致的貯存費用，按生產成本的月利率r引起的積壓資金的k倍計算（每月按30天計）。
設每種產品的生產率都可以從零到最大能力之間連續調節，每種產品當前的需求均需滿足。請您為工廠制訂合理、易行的生產計畫，使上面考慮到的費用之和盡可能小。
2）考慮有n種產品的情形，自行給出一組資料進行計算，討論模型有解的條件。
二． 模型假設
（1） 在生產中，對甲、乙兩種產品考慮穩定的、週期性的計畫，不必考慮初始情況。
（2） 生產過程中，機器不考慮出現故障等影響產量的各種因素。
（3） 假設在生產過程中甲乙每天的生產能力一定。
（4） 在生產過程中，為了儘量減少調換資金，盡量連續幾天生產一種產品。
三． 符號說明
四． 問題分析
生產甲乙兩種產品時，只需要考慮穩定的、週期性的變化，故在安排計畫時可以把甲乙分別看作在這些週期中間的乙個週期。要為該廠制訂合理、易行的生產計畫，使題中考慮到的各種費用之和盡可能小,需要考慮以下幾個方面：
4.1 首先是成本費用問題，由於每種產品的生產率都可以從零到最大能力之間連續調節，為了簡化模型，可讓甲乙每天的生產能力一定，故只要保證每天滿足需求即可。
4.2 其次是考慮到在改變產品時要更換零部件，由此引起的生產甲乙前的準備費用，為了節省準備費，可以在乙個週期裡連續幾天生產甲或乙。
4.3 最後是由產品過多引起的儲存資金。為了減少費用，我們考慮在乙個週期內單獨生產甲時，既能滿足生產時間內的需求，又能使生產剩餘的的產品剛好滿足單獨生產乙時每天對甲的需求量，也就是說在單獨生產乙時期末，剩餘量剛好為0。
同理，在單獨生產乙時，剩餘量也剛好能滿足單獨生產甲時每天對乙的需求量。
（2）當生產n種產品時，我們可以根據第一問得出的結果進行分析，只是變數多的問題，同樣需要建立非線性方程。為了簡便的給出最優計畫，讓n＝2時，在網上查詢一組資料，並且進行優化，再用lingo軟體解最優解。
五． 模型建立與求解
5.1.1
1）總生產成本：
由題意可知，在乙個週期內，單獨生產甲時的總生產成本為
在乙個週期內，單獨生產乙時的總生產成本為
2）準備費用：
在每個週期內恰好更換零部件各一次，所需是準備資金為：
3）儲存費用：
在乙個週期內單獨生產甲時，
第一天的儲存費用為：
第二天的儲存費用為： 2
第三天的儲存費用為： 3
…………
第天的儲存費用為
開始單獨生產乙時，甲的儲存費用：
第的儲存費用為
第的儲存費用為
…………
第的儲存費用為
由上述式子可知，在乙個週期內，儲存費先以等差數列遞增，達到最大後，又以遞減到0，故對於甲的總儲存費用為：
同樣在乙個週期內，對於乙的總儲存費用為:
4）目標函式：
有上述分析得出最小費用為：
5.1.2 約束條件
1）甲、乙每天的生產能力：
< ; <
2) 生產週期：
要儲存費用也要盡量少，所以生產週期也不能太長，故我們令週期小於30天，即
3）儲存費用：
由4.3分析可知，為節約資金，假設在乙個週期內生產與需求剛好滿足，即：；；
由上述式子可知，對於乙的總儲存費用為：
4）附加約束：
;並且均取整數
5.2 對於n種產品的情形，賦予一組n＝2時，經網上查詢並近似得到資料如下：
以上資料在軟體lingo驗證得到的最優生產計畫：
local optimal solution found.
objective value182126.0
objective bound182126.0
infeasibilities0.000000
extended solver steps5
total solver iterations67
variablevalue reduced cost
x1 525.0000176.6400
t1 4.0000000.000000
x2 467.0000198.7199
t2 3.00000032021.14
row slack or surplus dual price
1 182126.01.000000
2 275.00000.000000
3 33.000000.000000
4 0.00000023960.13
5 23.000000.000000
6 225.00000.000000
7 267.00000.000000
8 4.0000000.000000
9 3.0000000.000000
10 0.0000000.000000
11 1.0000000.000000
在給出已知資料下，由以上結果分析可知，生產週期為7天，甲連續生產4天，每天生產525件；乙連續生產3天，每天生產467件。每個週期需要貸款的最少資金為182126.0。
六．模型評價
6.1優缺點：
優點：該模型簡化了生產問題，使得能合理安排生產計畫，儘量減少借貸資金。假設每天生產能力一定，使得問題難度降低，建立乙個非線性規劃模型，這種方法有嚴格的理論基礎，並且更具普遍性。
再運用lingo求最優解，即方便，又準確。
缺點:在建立模型時，把一些條件簡單化，這樣可能會使模型對所有情況都適合。同時題目中資料太少，也同樣減少了計算精度。
6.2模型改進：
由於題目沒有給出具體資料，可能會造成很多不同的結論。同時對模型進行一些適當改動，便可推廣到更為普遍的問題，模擬生活中的普遍現象。
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