太和二中趙玉苗整理 2013-05-10
應用題的個數明顯在增加；3.注重考查學生動腦、動手能力及應用的能力.從高考應用題來看，涉及函式、數列、不等式、概率等高中主要板塊的內容,是歷年高考命題的熱點和重點．
一、建構函式(或三角函式)模型的應用問題
解答函式型應用題，一般先從建立函式的解析表示式入手，通過研究函式的性質獲得解答．因此，這類問題的難點一般有兩個：一是解析式的建立，二是數學知識的靈活應用(如借助不等式、導數等工具加以解決！)．
例1 某醫藥研究所開發的一種新藥,如果成年人按規定的劑量服用,據監測：服藥後每毫公升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線.
（1）寫出第一次服藥後y與t之間的函式關係式;
（2）據進一步測定：每毫公升血液中含藥量不少於0.25
微克時,**有效.
①求服藥一次後**有效的時間是多長？
②當時,第二次服藥,問時藥性能否持續？
【解析】⑴當時，
此時在曲線上,所以
⑵①因為
所以服藥一次**疾病的有效時間為
②設5小時第二次服藥後,血液中含藥量為第二次產生的含藥量4（t-5）微克以及第一次的剩餘量
只要說明當時即可說明藥效持續，否則不持續。
因為在r上是增函式，
上是增函式。
故,因此當t=5時第二次服藥,藥效持續
點評求解數學應用題必須突破三關:①閱讀理解關:一般數學應用題的文字閱讀量都比較大,要通過閱讀審題,找出關鍵詞、句,理解其意義．②建模關:
即建立實際問題的數學模型,將其轉化為數學問題．③數理關:運用恰當的數學方法去解決已建立的數學模型．
例2某觀測站c在城a的南20西的方向上,由a城出發有一條公路,走向是南40東,在c處測得距c為31千公尺的公路上b處有一人正沿公路向a城走去，走了20千公尺後,到達d處,此時c、d間距離為21千公尺,問這人還需走多少千公尺到達a城？
【解析】根據題意得右圖,其中bc=31千公尺,bd=20千公尺,cd=21千公尺,∠cab=.設∠acd = α,∠cdb = β .在△cdb中,由餘弦定理得：
， ．．
在△acd中,由正弦定理得：．
此人還得走15千公尺到達a城．
答: 此人還得走15千公尺到達a城．
【說明】運用解三角形的知識解決實際問題時,關鍵是設角以及如何把題設條件轉化為三角形中的已知元素，然後解三角形求之．
二、建構數列模型的應用問題
數列作為特殊的函式,在高中數學中占有相當重要的位置,涉及實際應用的問題廣泛而多樣,如：增長率、銀行信貸等．解答這一類問題,要充分應用觀察、歸納、猜想的手段,注意其間的遞推關係,建立出等差、等比、或遞推數列的模型．
值得一提的是:建立數列遞推關係來解題將有可能成為高考命題革新的乙個方向．
例3某校有教職員工150人,為了豐富教工的課餘生活,每天定時開放健身房和娛樂室.據調查統計,每次去健身房的人有10%下次去娛樂室,而在娛樂室的人有20%下次去健身房.請問,隨著時間的推移,去健身房的人數能否趨於穩定？
【解析】(引入字母,轉化為遞迴數列模型.)設第n次去健身房的人數為an,去娛樂室的人數為bn,則.
即 ，於是
即.故隨著時間的推移，去健身房的人數穩定在100人左右.
點評上述解法中提煉的模型,使我們聯想到了課本典型習題：已知數列的項滿足（其中）,證明該數列的通項公式是這是乙個重要的數列模型,用此模型可以解決許多實際應用題.
三、建構不等式模型的應用問題
不等式應用題,多以函式面目出現,以最優化的形式展現,解答這一類問題,不僅需要不等式的相關知識（不等式的性質、解不等式、均值不等式等）,而且往往涉及函式、數列、幾何等多方面知識,綜合性強,難度可大可小,是高考和各地模擬題的命題熱點．
例4現有流量均為300的兩條河流a、b會合於某處後,不斷混合,它們的含沙量分別為2和0.2.假設從匯合處開始,沿岸設有若干個觀測點,兩股水流在流經相鄰兩個觀測點的過程中,其混合效果相當於兩股水流在1秒鐘內交換100的水量,即從a股流入b股100水,經混合後,又從b股流入a股100水並混合.
問：從第幾個觀測點開始,兩股河水的含沙量之差小於0.01（不考慮泥沙沉澱）？
【解析】本題的不等關係為「兩股河水的含沙量之差小於0.01」．但直接建構這樣的不等關係較為困難.為表達方便,我們分別用來表示河水在流經第n個觀測點時,a水流和b水流的含沙量．則＝2，＝0.
2，且．（*）
由於題中問題是針對兩股河水的含沙量之差,所以我們不妨直接考慮數列．
由（*）可得：
∴數列是以為首項,以為公比的等比數列．
∴．依題意,令< 0.01，得．
∴．由得，所以，．
即從第9個觀測點開始，兩股水流的含沙量之差小於0.01．
點評：本題為數列、不等式型綜合應用問題，難點在於對題意的理解．
四、建構圓錐曲線模型的應用問題
例5設計如圖所示一水渠，它的橫截面曲線是拋物線形，寬2m，渠深為1.5m，水面ef距ab為0.5m. （1）求截面圖中水面寬度；
（2）由於情況有變，現要將此水渠改造為橫截面是等腰梯形，要求渠深不變，不准往回填土，只准挖土，試求截面梯形的下邊長為多大時，才能使所挖的土最少？
【解析】（1）建立如圖所示座標系,則拋物線方程為
當時,，∴水面寬
（2）如圖,設拋物線一點
因改造水渠中准挖土,而且要求挖出的土最少,所以只能
沿過點m與拋物線相切的切線挖土。
由,求導得 ∴過點m的切線斜率為3t
切線方程為:,令,則
故截面梯形面積為：
當且僅當時所挖土最少，此時下底寬m。
答：故截面梯形的下底邊長為0.707公尺寬時，才能使所挖的土最少。
點評：2023年廣東高考卷出現一道聲響定位問題,其知識載體為雙曲線;如果2023年高考出現一道圓錐曲線型的應用問題,你認為它考查的方向如何?以那種曲線為知識載體?
圓?橢圓?雙曲線?
拋物線?等!
由於數學問題的廣泛性,實際問題的複雜性,所以在此不可能對高中數學的應用型問題窮舉,但可以肯定的是,高考所遇到的應用問題的模型無非是:函式型、方程型、不等式型、數列型、排列組合型、概率型、曲線型、解三角形型等問題.所以,當我們拿到一道應用題時,應穩定自己的心態,從所學到的知識中尋找應用題的數學模型及相關的知識載體,而不應該被它嚇倒,特別是當應用問題出現在解答題的前四題位置上時,更應該堅信自己能把它解決掉!(完)
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