2015屆淮北一中高三年級數學周周練
班級姓名時間 2014/10/27
1. 設，滿足，求函式在上的最大值和最小值.
2. 已知<<<,
(ⅰ)求的值.
（ⅱ）求.
3. (理)設，對任意實數，記．
（）求函式的單調區間；
（）求證：（ⅰ）當時，對任意正實數成立；
（ⅱ）有且僅有乙個正實數，使得對任意正實數成立．
(文)設函式（），其中．
（ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）當時，求函式的極大值和極小值；
（ⅲ）當時，證明存在，使得不等式對任意的恆成立．
4. 已知數列中的相鄰兩項是關於的方程的兩個根，且．
（）求，，，；
（）求數列的前項和；
(理)（ⅲ）記,，
求證：參***：
1.設，滿足，求函式在上的最大值和最小值.
解： 由因此
當為增函式，
當為減函式，
所以又因為
故上的最小值為
已知<<<,
(ⅰ)求的值.
（ⅱ）求.
（17）本題考察三角恒等變形的主要基本公式、三角函式值的符號，已知三角函式值求角以及計算能力。
解：（ⅰ）由，得
∴，於是
（ⅱ）由，得
又∵，∴
由得：所以
設，對任意實數，記．
（）求函式的單調區間；
（）求證：（ⅰ）當時， 對任意正實數成立；
（ⅱ）有且僅有乙個正實數，使得對任意正實數成立．
22．本題主要考查函式的基本性質，導數的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力．滿分15分．
（i）解：．
由，得．
因為當時，，
當時，，
當時，，
故所求函式的單調遞增區間是，，
單調遞減區間是．
（ii）證明：（i）方法一：
令，則，
當時，由，得，
當時，，
所以在內的最小值是．
故當時，對任意正實數成立．
方法二：
對任意固定的，令，則
，由，得．
當時，．
當時，，
所以當時，取得最大值．
因此當時，對任意正實數成立．
（ii）方法一：
．由（i）得，對任意正實數成立．
即存在正實數，使得對任意正實數成立．
下面證明的唯一性：
當，，時，
，，由（i）得，，
再取，得，
所以，即時，不滿足對任意都成立．
故有且僅有乙個正實數，
使得對任意正實數成立．
方法二：對任意，，
因為關於的最大值是，所以要使對任意正實數成立的充分必要條件是：，即
又因為，不等式①成立的充分必要條件是，
所以有且僅有乙個正實數，
使得對任意正實數成立．
設函式（），其中．
文 （ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）當時，求函式的極大值和極小值；
（ⅲ）當時，證明存在，使得不等式對任意的恆成立．
（21）本小題主要考查運用導數研究函式的性質、曲線的切線方程，函式的極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法．滿分14分．
（ⅰ）解：當時，，得，且
，．所以，曲線在點處的切線方程是，整理得
．（ⅱ）解：
．令，解得或．
由於，以下分兩種情況討論．
（1）若，當變化時，的正負如下表：
因此，函式在處取得極小值，且
；函式在處取得極大值，且
．（2）若，當變化時，的正負如下表：
因此，函式在處取得極小值，且
；函式在處取得極大值，且
．（ⅲ）證明：由，得，當時，
，．由（ⅱ）知，在上是減函式，要使， 只要即
①設，則函式在上的最大值為．
要使①式恆成立，必須，即或．
所以，在區間上存在，使得對任意的恆成立．
已知數列中的相鄰兩項是關於的方程的兩個根，且．
（）求，，，；
（）求數列的前項和；
（ⅲ）記，
，求證：．
21．本題主要考查等差、等比數列的基本知識，考查運算及推理能力．滿分15分．
（i）解：方程的兩個根為，，
當時，，
所以；當時，，，
所以；當時，，，
所以時；
當時，，，
所以．（ii）解：
．（iii）證明：，
所以，．
當時，，
，同時，
．綜上，當時，．
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