時間：2008-2023年第一學期
理學院資訊與計算科學系
實驗一主要內容：matlab簡介、矩陣的生成與呼叫方法、矩陣的基本運算及m-檔案的編寫。
1、 matlab簡介
（1） matlab
matlab概述
matlab是美國math works公司於2023年推出的、名為「matrix laboratory」（縮寫為matlab）的軟體包，是當今世界上最好的科學計算工具（ieee評述）。
matlab目前流行的版本是一種功能強、效率高、便於進行科學和工程計算的互動式軟體包。它集應用程式和圖形於一體，具有極強的直觀顯示能力，因而非常便於使用，matlab軟體包中包含有科研和工程計算中常用的各種計算方法的計算程式。大量的基本的數值計算可在matlab環境下直接進行，其語言表述形式極其簡潔，幾乎與通常的數學表達形式相同，不需要像傳統的演算法語言那樣進行程式設計，matlab的簡單的程式語言又使你可以把它的不同程式連線起來完成複雜的數值計算過程。
matlab可以在計算機上直接輸出結果和精美的圖形顯示，matlab大大降低了對使用者的數學基礎和計算機語言知識的要求，它使廣大科技工作者的得力助手。
2、線性代數實驗
線性代數課程的主要特徵之一就是計算，傳統的筆算對付較簡單的問題尚可，如果問題的規模很大（如線性方程組含幾百個方程，幾百個變數），用筆算就不現實了。用計算機代替人來完成這一工作（繁瑣的計算）的研究已持續了幾十年，現在仍在繼續。
matlab軟體包是數值計算方面的優秀軟體，我們引入它來完成線性代數中計算的任務也正是緣於此，但作為線性代數的實驗指導教材，我們除了利用matlab自身提供的數值計算函式完成數值型計算（一般存在捨入誤差）外，還將對基於理論課本的精確計算進行詳細的討論。由此看來，我們的線性代數實驗是利用matlab軟體來完成線性代數中計算問題的課程。
（2）matlab名字由matrix和laboratory兩詞的前3個字母組合而成。它是以矩陣操作和運算為基礎的一門語言，該語言的整合環境、或操作平台稱為matlab軟體。它的創始人是美國新墨西哥大學的cleve moler教授。
matlab以商品的形式出現是在2023年由mathworks公司推出的，它是國際控制界公認的標準計算軟體。尤其是數值計算方面，在30多個國際上通用的數學類應用軟體中獨占鰲頭。
（2）軟體的介面介紹與引數設定
進入matlab，首先出現的是command windows視窗，這裡是所有matlab命令和函式的執行視窗，然後在選單欄上選擇view選單，會出現各種視窗的選擇，現列表如下：
選擇file選單的preferences選項，進行matlab命令和程式執行所需的各種系統引數的設定。如在preferences的command windows中設定資料的型別。
2、 矩陣的生成
所有單獨指令都可在command windows視窗中執行。下面我們就在該視窗中定義矩陣。建議先把worksspace視窗開啟（可清晰地察看記憶體中已有的變數）。
（1）一般的矩陣生成法
輸入，回車
就可在worksspace中清楚地看到生成了乙個的矩陣，其他的矩陣生成方式相同。
（2）特殊矩陣生成法
向量常規的方式與上述一樣，如命令就生成了乙個的行向量，列向量的生成形式為：，它表示是了乙個的列向量。但有時向量的規律性是穩定的，它的生成方式就較簡單，如；它是從1到12以1為步長所生成的均勻資料形成的（行）向量。
零矩陣生成它的命令為，即生成一的全零矩陣。
單位陣生成它的命令為，即生成一屆單位陣。
（3）符號型矩陣
為了在求解線性代數問題中，找到問題的符號解或計算精確解，這裡要引入符號矩陣。
方式一已知一數值型矩陣，將它轉化成符號型，命令如下：
，其中為已知數值型矩陣。
方式二先定義一些符號，在以這些符號為元素，用矩陣的一般生成法生成，舉例如下：
3、矩陣的基本運算
（1）轉置運算
為已知矩陣，則的轉置只需鍵入：
（2）矩陣的加、減和數乘
為已知的大小相同的矩陣，為已知數，具體的操作舉例如下：
（3）矩陣的乘法
矩陣相乘得保證有意義，即，,建立兩個這樣的矩陣，然後鍵入：
（4）乘方
為已知方陣，則它的方冪為，為整數
（5）行列式
為已知方陣，求它的行列式的鍵入命令為：
（6）逆矩陣
為已知方陣，先判別它是否可逆（求的行列式），然後，求逆鍵入的命令為：或
（6）矩陣除法
為階方陣，當可逆時，它們可相除
當可逆時，它們可相除
分別稱為矩陣的左除和右除。
在矩陣的運算中，a\b表示b,而a/b則表示a。
當非方陣作分母時，在matlab中也能進行，這裡計算的是分母矩陣的廣義逆。
實驗二主要內容：矩陣的秩，線性方程組的基本解法、向量組的相關性與無關性的判別，向量的內積，長度，向量間的夾角餘
1、求矩陣的秩
對於給定的矩陣，求它的秩只需鍵入執行即可。
２、線性方程組的基本解法
用矩陣的秩來判別方程組解的情況。
（１）齊次方程組的基礎解析
為已知齊次方程組的係數矩陣，若＜（未知數的個數），求它的數值型基礎解系的命令為
求它的精確基礎解系的命令為： 即可
1． 求齊次方程組的乙個基礎解系。
a=[1 2 2 1；2 1 -2 -2；1 -1 -4 -3]
a= 1 2 2 1
2 1 -2 -2
1 -1 -4 -3
rank(a)
ans=
2a=sym(a)
a=[1,2,2,1]
[2,1,-2,-2]
[1,-1,-4,-3]
null(a)
ans=
[2, 5/3]
[-2,-4/3]
[1, 0]
[0, 1]
]2． 求線性方程組的通解。
（２）非齊次方程組的解
為已知非齊次方程組的係數矩陣，為該方程的常數列，若＜，非齊次方程組的通解：它所對應的齊次方程組的通解＋非齊次方程組的乙個特解。非齊次方程組的乙個特解求法：
求它的數值型特解的命令為，求它的精確特解的命令為
３、向量組的相關性與無關性的判別
這一判別較簡單，只需檢驗由已知向量組構成的矩陣的秩與向量組中所含向量的個數是否相等即可
４、向量的內積，長度，向量間的夾角余弦
（１）求向量的內積
為已知同維向量，則
（２）求向量的長度
為已知向量，下面求它的長度：
方式一：
方式二：
（３）向量間的夾角余弦
實驗三主要內容：特徵值與特徵向量、相似對角化、化二次型為標準型、二次型的正定性判別
1、特徵值與特徵向量
１、矩陣的特徵值與特徵相量
(1)，返回的特徵多項式的係數組成向量
例1結果即的特徵多項式為
(2)的特徵值
求的特徵值有兩種方法，一種用特徵多項式求。
例2另一種方法是用命令。返回的特徵值組成的列向量。
例3注：當不是實對稱矩陣時，特徵值將返回複數。
(３)的特徵向量
的特徵值與特徵向量，即滿足的和，可以用雙賦值語句返回兩個矩陣，矩陣的對角線元素是的特徵值，的各列是對應的特徵向量，故有
如果可逆，則有
例４１例５ 求的特徵值與特徵向量。
解：輸入
即若想把符號矩陣化為數值矩陣，用命令。與命令比較一下。
２、矩陣的對角化：求矩陣使為對角矩陣
(1)命令（符號矩陣）
如果（或滿秩），說明可逆，於是就有為對角矩陣，，就是所求的矩陣。
(２)或命令（數值矩陣）
例６ ，求使為對角陣。
解：即為所求，驗證：
若用命令
為正交陣，可驗證。
注：如果不是實對稱矩陣，不一定是正交矩陣。
練習２對實對稱矩陣，求正交矩陣，使為對角矩陣。
命令對於實對稱陣，是正交矩陣，就是所求的正交矩陣，滿足為對角陣。驗證，，。
如果想得到的精確表示式，可把轉化為符號矩陣：。
對例６的矩陣，進行試驗。
對例６，已求出了正交陣，若把化為符號矩陣，則用命令即
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