北京市2014～2015學年度第二學期期中考試
高二數學（理）試卷
(考試時間：100分鐘總分：100分)
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）
1．已知複數滿足：（是虛數單位），則的虛部為（ ）
abcd．
2．圖書館的書架有三層，第一層有3本不同的數學書，第二層有5本不同的語文書，第三層有8本不同的英語書，現從中任取一本書，共有（ ）種不同的取法。
a.120b.16c.64d.39
3．已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫座標為（ ）
a．3 b．2c．1 d．
4．由直線,,曲線及軸所圍成的封閉圖形的面積是（ ）
a． b． cd．
5．以下說法正確的是（ ）
a.在用綜合法證明的過程中，每乙個分步結論都是結論成立的必要條件
b.在用綜合法證明的過程中，每乙個分步結論都是條件成立的必要條件
c.在用分析法證明的過程中，每乙個分步結論都是條件成立的充分條件
d.在用分析法證明的過程中，每乙個分步結論都是結論成立的必要條件
6．設函式，則的極小值點為（ ）
ab. c. d.
7．已知，，,．．．，以此類推，第5個等式為（ ）ab．
c．d．8．在復平面內，複數，對應的點分別為，，則線段的中點對應的複數為（ ）
abcd．
9．已知函式是函式的導函式，則的圖象大致是（ ）
10．設函式在區間上的導函式為，在區間上的導函式為，若區間上，則稱函式在區間上為「凹函式」，已知在上為「凹函式」，則實數的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分.）
11．函式在上是增函式，則實數的取值範圍是
12．設集合,則方程表示焦點位於軸上的橢圓有個.
13．設，則為
14．已知複數且，則的範圍為 ．
15．在平面上，我們用一直線去截正方形的乙個角，那麼截下的乙個直角三角形，按如圖所標邊長，由勾股定理有．設想正方形換成正方體，把截線換成如圖截面，這時從正方體上截下三條側稜兩兩垂直的三稜錐，如果用表示三個側面面積，表示截面面積，那麼模擬得到的結論是 ．
16．對定義在區間上的函式和，如果對任意，都有成立，那麼稱函式在區間上可被替代，稱為「替代區間」．給出以下命題：
①在區間上可被替代；
②可被替代的乙個「替代區間」為；
③在區間可被替代，則；
④，則存在實數，使得在區間上被替代；
其中真命題的有
三、解答題（本大題共4小題，共36分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
17.（本小題共8分）
已知函式是的乙個極值點，求：
（1）實數的值；
（2）在區間上的最大值和最小值。
18. （本小題共8分）
若、、均為實數，且，，
求證：、、中至少有乙個大於。
19. (本小題共10分)
已知函式．
（1）求函式的單調區間；
（2）若函式在上有且僅有乙個零點，求
的取值範圍；
20. (本小題共10分)
已知數列的各項均為正整數，對於任意，都有成立，且．
（1）求，的值；
（2）猜想數列的通項公式，並給出證明．
北京市2014~2015學年度第二學期期中考試
高二（理）試卷答案及評分標準
一、選擇題
二、填空題
11. 12.10 13. 14． 15．
16．①②③
三、解答題
17．（1）因為1分）
在處有極值，所以2分）
即所以3分）
（2）由（1）知，所以 （4分）
令得，當變化時的變化情況如下表：
7分）從上表可知在區間上的最大值是，最小值是8分）
18. 證明：假設都不大於，
即4分)
與上式矛盾
中至少有乙個大於 （8分）
19.(1)解： （1分）
當時，，則在上單調遞增 （2分）
當時，在上單調遞減，在上單調遞增． （4分）
(2)解：由，得
考查函式()，則 （5分）
令6分）
當時，，∴在上單調遞增7分）
∴,，∴在上單調遞增8分）
∴在上的最小值為，最大值為
（9分）
∴當時，函式在上有且僅有乙個零點
（10分）
20. （1）因為，
當時，由，即有，
解得．因為為正整數，故2分）
當時，由，
解得，所以4分）
（2）由，，，猜想5分）
下面用數學歸納法證明．
1當，，時，由（1）知均成立6分）
2假設成立，則，
由條件得，
所以8分）
所以9分）
因為，，，
又，所以．
即時，也成立．
由1，2知，對任意10分）
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