普寧第二中學2015-2016學年度第二學期期中考
高二數學試題（文科）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.複數在復平面內對應的點在（ ）
a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限
2.函式在處切線的斜率為（ ）
a.1b. 2c. 4d.
3.觀察下列各式：，，，...，則的末四位數字為（ ）
a.3125 b.5625 c.0625 d.8125
4.如果，則實數（ ）
a.2 b.3 c.4 d.6
5.設隨機變數的分布列為，則實數的值為（ ）
a.1 b. c. d.
6.若，則的解集為（ ）
a. b. c. d.
7.袋中有5個黑球和3個白球，從中任取2個球，則其中至少有1個黑球的概率是（ ）
a. b. c. d.
8.的展開式中的係數為（ ）
a.-30 b.30 c.-210 d.210
9.將5個顏色互不相同的球球全部放入編號為1和2的兩個盒子裡，使得放入每個盒子裡的球球的個數不小於該盒子的編號，則不同的放球球方法有（ ）
a.60種 b.30種 c.25種 d.20種
10.設，若，
則（ ）
a.-1 b.0 c.1 d.256
11.在5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中至少有2只鞋子原來是同一雙的可能取法種數為（ ）
a.30b.90c.130d.140
12.已知函式，，若對任意給定的，關於的方程在區間上總存在兩個不同的解，則實數的取值範圍是（ ）
a. b. c. d.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．
13.已知點，橢圓與直線交於點,則的周長為
14.若點在以座標原點為圓心的圓上，則該圓在點處的切線方程為
15.乙個圓經過橢圓的三個頂點，且圓心在軸的正半軸上，則該圓的標準方程為
16.是雙曲線的右支上一點，分別是圓和上的點，則的最大值為____．
三、解答題（解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，共70分）
17.已知函式在處取得極值,並且它的圖象與直線在點處相切,
求的值.
18．（本小題滿分10分）
已知函式
（1）寫出函式的遞減區間；
（2）求函式在區間上的最值.
19．（本小題滿分12分）
求由拋物線與它在點和點的切線所圍成的區域的面積。
20．（本小題滿分12分）
已知是函式的乙個極值點，其中，
（1）求與的關係式2）求的單調區間；
21．（本小題滿分13分)
用長為的鋼條圍成乙個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？並求出最大體積
22．（本小題滿分13分）
已知函式．
（1）若函式的圖象上有與軸平行的切線，求的範圍；
（2）若，（ⅰ）求函式的單調區間；（ⅱ）證明對任意的，，不等式恆成立．
文科數學答案
1-12 aacac bdccb ca
13、 8 14、 15、 16、9
17．（本小題滿分10分）
解： 18．（本小題滿分10分）
解：解：令，得2分
x變化時，的符號變化情況及的增減性如下表所示：
6分（1）由表可得函式的遞減區間為8分
（2）由表可得，當時，函式有極大值；當時，函式有極小值
10分19．（本小題滿分12分）
（1）解2分
所以過點a（0，－3）和點b(3，0)的切線方程分別是4分
兩條切線的交點是5分
圍成的區域如圖所示：區域被直線分成了兩部分，........6分
分別計算再相加，得：
.......8分
.......11分
即所求區域的面積是12分
20．（本小題滿分12分）
解(i)........1分
因為是函式的乙個極值點,所以,.......3分
即，.......5分
所以.......6分
（ii）由（i）知，........7分
=......9分
當時，有，當變化時，與的變化如下
11分故有上表知，當時，在單調遞減，在單調遞增，在上單調遞減.........12分
21．（本小題滿分13分）
解：設長方體的寬，則長為，高.......2分
故長方體的體積為........4分
從而6分
令，解得（捨去）或，因此.........8分
當0＜x＜1時，＞0；當1＜x＜時，＜010分
故在處取得極大值，並且這個極大值就是的最大值
從而最大體積，此時長方體的長為，高為.......12分
答：當長方體的長為時，寬為，高為時，體積最大，最大體積為......13分
22.解析：，
⑴ 函式的圖象有與軸平行的切線，有實數解
，，所以的取值範圍是4分
⑵，，，
（ⅰ）由或；由
的單調遞增區間是；單調減區間為……………8分
（ⅱ）易知的最大值為，的極小值為，........10分
又11分
在上的最大值，最小值.........12分
對任意，恒有.........13分
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