一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填塗相應選項。
1．已知集合,則（ ）
a． bc. d．
2．已知＝b－i, (a，b∈r)，其中i為虛數單位，則a＋b＝（ ）
a.－1 b．1c．2 d．3
3．已知a、b是實數，則「a>1，b>2」是「a+b>3且ab>2」的
a．充分而不必要條件 b．必要而不充分條件
c．充分且必要條件 d．既不充分也不必要條
4．函式是（ ）
a.週期為的奇函式b.週期為的奇函式
c. 週期為的偶函式d.非奇非偶函式
5. 已知平面向量, , 且, 則m=( )
a 4 b -1 c 2 d -4
6某幾何體的三檢視及尺寸如圖示，則該幾何體的表面積為
abc. d.
7已知向量，且，若變數x,y
滿足約束條件 ，則z的最大值為
a.1b.2 c.3d.4
8等差數列中，，且成等比數列，則
abcd．
9以軸為對稱軸，以座標原點為頂點，準線的拋物線的方程是
a． b． c． d．
10起點到終點的最短距離為
a．16 b．17c． 18 d．19
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．請將答案填在答題卡相應位置．
（一）必做題
11.的定義域
12校高中部有三個年級，其中高三有學生人，現採用分層抽樣法抽取乙個容量為的樣本，已知在高一年級抽取了人，高二年級抽取了人，則高中部共有學生__ _人.
13在中，,且,則的面積是_____
（二）選做題
14.（幾何證明選講選做題）
如圖，已知的兩條直角邊,的長分別為，，以為直徑的圓與交於點，則＝ .
15.（座標系與引數方程選做題）直線截曲線（為引數）的弦長為_ _
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16. （本小題共12分）已知函式
（1）求的最小正週期； （2）若,, 求的值
17.（本題滿分14分）
有甲乙兩個班級進行數學考試，按照大於等於85分為優秀，85分以下為非優秀統計成績後，得到如下的列聯表.
已知在全部105人中抽到隨機抽取1人為優秀的概率為
(1)請完成上面的列聯表；
(2)根據列聯表的資料，若按的可靠性要求，能否認為「成績與班級有關係」 .
(3)若按下面的方法從甲班優秀的學生抽取一人：把甲班優秀的10名學生從2到11進行編號，先後兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數之和為被抽取人的序號.試求抽到6或10號的概率.
18．（本題12分）如圖所示,在直四稜柱中, ,點是稜上一點.
（1）求證：面；
（2）求證：；
19. （本題滿分14分）為贏得2023年廣州亞運會的商機，某商家最近進行了新科技產品的市場分析，調查顯示，新產品每件成本9萬元，售價為30萬元，每星期賣出432件，如果降低**，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值（單位：萬元，）的平方成正比，已知商品單價降低2萬元時，一星期多賣出24件．（1）將乙個星期的商品銷售利潤表示成的函式；
（2）如何定價才能使乙個星期的商品銷售利潤最大？
20. （本小題滿分14分）已知橢圓的左焦點為f，左右頂點分別為a,c上頂點為b，過f,b,c三點作，其中圓心p的座標為．(1) 若fc是的直徑，求橢圓的離心率；（2）若的圓心在直線上，求橢圓的方程．
21．（本小題滿分14分）設不等式組所表示的平面區域為，記內的格點（格點即橫座標和縱座標均為整數的點）個數為
（1）求的值及的表示式；（2）記，試比較的大小；若對於一切的正整數，總有成立，求實數的取值範圍；
（3）設為數列的前項的和，其中，問是否存在正整數，使成立？若存在，求出正整數；若不存在，說明理由。
三．解答題（本大題共6小題，滿分80分。 解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟）
16. （本小題共12分）已知函式
（ⅰ）求的最小正週期； （ⅱ）若,, 求的值
17.（本題滿分14分）
有甲乙兩個班級進行數學考試，按照大於等於85分為優秀，85分以下為非優秀統計成績後，得到如下的列聯表.
已知在全部105人中抽到隨機抽取1人為優秀的概率為
(ⅰ)請完成上面的列聯表；
(ⅱ)根據列聯表的資料，若按的可靠性要求，能否認為「成績與班級有關係」 .
(ⅲ)若按下面的方法從甲班優秀的學生抽取一人：把甲班優秀的10名學生從2到11進行編號，先後兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數之和為被抽取人的序號.試求抽到6或10號的概率
18．（本題12分）如圖所示,在直四稜柱中, ,點是稜上一點.
（1）求證：面；
（2）求證：；
19. （本題滿分14分）為贏得2023年廣州亞運會的商機，某商家最近進行了新科技產品的市場分析，調查顯示，新產品每件成本9萬元，售價為30萬元，每星期賣出432件，如果降低**，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值（單位：萬元，）的平方成正比，已知商品單價降低2萬元時，一星期多賣出24件．（1）將乙個星期的商品銷售利潤表示成的函式；
（2）如何定價才能使乙個星期的商品銷售利潤最大？
20. （本小題滿分14分）已知橢圓的左焦點為f，左右頂點分別為a,c上頂點為b，過f,b,c三點作，其中圓心p的座標為．(1) 若fc是的直徑，求橢圓的離心率；（2）若的圓心在直線上，求橢圓的方程．
21．（本小題滿分14分）設不等式組所表示的平面區域為，記內的格點（格點即橫座標和縱座標均為整數的點）個數為
（1）求的值及的表示式；（2）記，試比較的大小；若對於一切的正整數，總有成立，求實數的取值範圍；
（3）設為數列的前項的和，其中，問是否存在正整數，使成立？若存在，求出正整數；若不存在，說明理由。
高二級數學科競賽****
一． 選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)
二、填空題(每小題5分，共20分)
1112 3700人
13 6
14 16/5
15 8/5
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16. （本題滿分12分）本題主要考查特殊角三角函式值、誘導公式、二倍角的正弦、三角函式在閉區間上的最值等基礎知識，主要考查基本運算能力．
（ⅱ）若,, 求的值
解：由，
∴,…………………7分
化簡可得,…………9分
則,化簡
∴…………………10分
由,∴,
故…………………12
17. （本題滿分14分）
解：(ⅰ)**如下
(ⅱ)：根據列聯表中的資料，得到
5分因此有95%的把握認為「成績與班級有關係」。 ………………7分
18. （本題滿分12分）
證明：由直四稜柱,得,
所以是平行四邊形,
所以3分）
而,,所以面6分
（2）求證：；
證明：因為,
則9分）
又因為,且，
故而，所以12分）
19. （本題滿分14分）
（2）如何定價才能使乙個星期的商品銷售利潤最大？
解：根據（1），我們有．
………………9分
作出以下**：
………………12分
故時，達到極大值．因為，，則定價為萬元能使乙個星期的商品銷售利潤最大．…… 14分
20．（本小題共14分）
解：（1）由橢圓的方程知，∴點，，
設的座標為，………………1分
∵fc是的直徑，∴2分
3分解得5分
∴橢圓的離心率6分
解：∵過點f,b,c三點，
∴圓心p既在fc的垂直平分線上，也在bc的垂直平分線上，
fc的垂直平分線方程為
7分∵bc的中點為，
∴bc的垂直平分線方程為-----②
---------9分
由①②得，
即11分
∵p在直線上，∴
13分由得
∴橢圓的方程為14分
21．（本小題滿分14分）
解2當時，取值為1，2，3，…，共有個格點
當時，取值為1，2，3，…，共有個格點
4分（2）解：由 則5分
當時，當時6分
∴時，時，
時，∴中的最大值為8分
要使對於一切的正整數恆成立，
只需9分
（3）解10分
將代入，化簡得11分
若時，顯然12分
若時 （﹡）式
化簡為不可能成立13
綜上，存在正整數使成立14分
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