，這說明不連通，矛盾.從而是的乙個連通子集8分
3、設是拓撲空間的乙個連通子集, 證明: 如果和是的兩個無交的開集使得,則或者,或者.
證明：因為是的開集，從而是子空間的開集.
又因中，故………………… 4分
由於是的連通子集,則中必有乙個是空集. 若,則;若,則………………… 8分
4、設x是乙個含有不可數多個點的可數補空間.證明x不滿足第一可數性公理.
證明：若滿足第一可數公理，則在處,有乙個可數的鄰域基，設為v x ,因為x是可數補空間，因此對,是的乙個開鄰域，從而,使得.
於是4分
由上面的討論我們知道：
因為是乙個不可數集，而是乙個可數集，矛盾.
從而x不滿足第一可數性公理8分
三、 填空題
1、設,則的平庸拓撲為答案：
2、每乙個球形鄰域都是答案：開集
3、若拓撲空間有乙個可數稠密子集，則稱是乙個答案：可分空間
4、若任意個拓撲空間,都具有性質,則積空間也具有性質，則性質稱為答案：有限可積性質
5、是拓撲空間到的乙個對映，如果它是乙個滿射，並且的拓撲是對於對映而言的商拓撲，則稱是乙個答案：商對映
四、 選擇題
1、設，下列集族中,（ ）是上的拓撲.
① ②
答案：②
2、已知，拓撲,則=（ ）
答案：④
3、在實數空間中，有理數集的邊界是（ ）
① ② q ③ r -q ④ r 答案：④
4、在實數空間中，區間的內部是（ ）
答案：④
5、設是乙個拓撲空間，a,b 是的子集,則下列關係中錯誤的是（ ）
① ②
答案: ③
6、離散空間的任一子集為( )
① 開集 ② 閉集 ③ 即開又閉 ④ 非開非閉答案：③
7、設是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ）
① 單射連續的單射
③ 滿的連續閉對映滿的連續開對映答案：④
8、在實數空間r中，下列集合是開集的是（ ）
① 整數集z ② 有理數集
③ 無理數集 ④ 整數集z的補集答案：④
9、設,是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( )
答案：②
10、設，拓撲,則的既開又閉的非空真子集的個數為（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
點集拓撲作業
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