第1章樸素集合論
1.設 f : x → y , a, b y , 則下面不正確的命題是 ( ).
a. a = f(f1(a))
b. f1(a ∩ b) = f1(a) ∩ f1(b)
c. f1(a\b) = f1(a)\f1(b)
d. f1(a ∪ b) = f1(a) ∪ f1(b)
2.對任意集合 x, y, z, 下面命題正確是 ( ).
a. card x ≤ card y x y
b. x y card x ≤ card y
c. x ≠ y card x ≠ card y
d. x y card x < card y
3.設 r 是從 x 到 y 的乙個關係, 則
r(a ∩ b) = r(a) ∩ r(b). ( )
4.給定函式 f : x → y , 則關係 f1 : y → x.( )
5.給定 x = , 則 x 上的關係r = 是從 x 到 x 的乙個函式. ( )
6.考慮整數集 z 上的模 5 等價關係, 則商集[9] = [134]. ( )
7.有理數集是可數集, 無理數集的基數為 . ( )
8.設 r x × y , 則稱 r 是從 x 到 y 的乙個
9.設 x 上的乙個關係 r. 若 △(x) r, 其涵義為則稱關係 r是的; 若 r = r1, 其涵義為則稱關係 r 是的;若 r r r, 其涵義為 , 則稱關係r 是的.
滿足以上三個條件的關係稱為
關係.等價關係,
商集,自然對映.
可數集,
0.1.設 x 上關係 r 是自反的. 試證: r 是等價關係當且僅當
(a, b) ∈ r, (a, c) ∈ r (b, c) ∈ r.
2.設 x, y 是集合, f : x → y . 試證:
r = 是 x 上的等價關係, 而且
f : x/r → y
[x]→ f(x)
是良定義的 (well-defined), 且是單射.
3.設 a b c, 且 card a = card c. 試證:
card a = card b = card c. (提示: 利用cantor-bernstein 定理.
)4.設 f : x → y , a, b y . 試證:f1(a ∪ b) = f1(a) ∪ f1(b).
5.設 f : x → y , a x, b y , 試證:b ∩ f(a) = f(f1(b) ∩ a).
6.設 f : x → y , 試證: f1(f(a)) a;
f1(f(a)) = a f(a) ∩ f(x\a) = .
第2 章拓撲空間與連續對映
1.設 x = , 下面不是 x 上的拓撲的集族是 ( ).
a. , , x}
b. , x}
c. , , , x}
d. , , x}
2.設 x 是拓撲空間, a b x, 下面不正確的命題是 ( )
a. d(a) d(b)
b. ao bo
c. ac bc
d. a b
3.設 x 是拓撲空間, 下面不正確的命題是 ( )
a. =
b. x = x
c. (a ∩ b) = a ∩ b
d. (a ∪ b) = a ∪ b
4.設 x = , t = , x}, 則
d (o = ( ).
a. b. x c. d.
5.設 x = ,
t = , , x}, 則 x 的既開又閉的非空真子集的個數為 ( ).
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
6.設 x = , t = , , x},
點 b 的開鄰域個數為( ).
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
7.設 (x, t ) 是拓撲空間, a x, 則 ao 是包含於 a 的 ( ) 開集.
a. 最小 b. 最大 c. 既不是最大也不是最小 d. 以上都不對
8.設 (x, t ) 是拓撲空間, a x, 則 a 是包含 a 的 ( ) 閉集.
a. 最小 b. 最大 c. 既不是最大也不是最小 d. 以上都不對
9.設 x 是乙個拓撲空間, a, b x, 則下列關係中錯誤的是 ( )
a. d(a ∪ b) = d(a) ∪ d(b)
b. c. d(a ∩ b) = d(a) ∩ d(b)
d. 10.離散空間的任一子集是 ( )
a. 開集 b. 閉集 c. 既開又閉 d. 非開非閉
11.在實數空間 r 中, 下列集合是開集的是 ( )
a. 整數集 z b. 有理數集 q c. 無理數集 d. 整數集的補集 zc
12.設 (x, ρ) 是拓撲空間, x ∈ x, a x, 則ρ(x, a) = 0 x ∈ ( ),
ρ(x, ac) = 0 xx, a) = ρ(x, ac) = 0 x ∈ ( ),
ρ(x, ac) > 0 x ∈ ( ).
a. ao b. a c. a d. aoc
13.拓撲空間中的開集一定不是閉集.( )
14.設 t1, t2 都是 x 上的拓撲, 則 t1 ∪ t2 也是 x 上的拓撲. ( )（花寫t）
15.在拓撲空間 (x, t ) 中, 若 a x, 則 d(a)是閉集. ( )
16.在實數下限拓撲空間 rl 中, [0, ∞) 是開集.( )
17.設 b 是拓撲空間 (x, t ) 的乙個基,b b t , 則 b 也是該拓撲空間的乙個基. ( )
18.設 s 是拓撲空間 (x, t ) 的乙個子基,s s t , 則 s 也是該拓撲空間的乙個子基. ( )
19.在拓撲空間 (x, t ) 中, 設 x ∈ x, a x,則 x0 ∈ d(a) 蘊含
存在 a\ 中的序列 收斂於 x0. ( )
20.在度量空間 (x, t ) 中, 設 x0 ∈ x, a x,則 x0 ∈ d(a) 等價於存在 a\ 中的序列 收斂於 x0. ( )
21.設 a 是離散空間 x 的子集, 則
aoa22.設 x 是拓撲空間, a x, x ∈ x, 如果則稱 x 是 a 的凝聚點.
23.在實數空間 r 中, 區間 [0, 1) 的內部是______ , q 的內部是q的導集是______ , q 的閉包是 ______, q 的邊界是
24點集拓撲的中心任務是研究
25.設 x 是拓撲空間, 如果則稱u x 是點 x ∈ x 的乙個鄰域.
度量空間
拓撲空間
鄰域凝聚點, 導集
內點, 內部
邊界點, 邊界
基, 子基
同胚對映
1.設 (x, ρ) 是度量空間, 試證:
|ρ(x, y) ρ(x, z)| ≤ ρ(y, z), x, y, z ∈ x.
2.設 (x, ρ) 是度量空間, , ,
試證: (x, ρ1), (x, ρ2) 均是度量空間.
3.設是 x 上的一列度量, 試證:
, 也是 x 上的度量.
4.設 x = ,
t1 = , , , x} ,
t2 = , , , x} .
試證: t1, t2 都是 x 上的拓撲, 但 t1 ∪ t2 卻不是 x 上的拓撲.
5.設x = , t = , , x} .試證: (x, t ) 是乙個拓撲空間; 再設 a = , 試求 d(a), 並判斷它是否為閉集.
6.設 x 是度量空間, a x, 試證: d(a) 是閉集
7.設 x 是有限補拓撲空間, a x, 試證:
8.設 x 是拓撲空間, a x, 試證:aoo = ao.
證明:ao aoo ao aoo,
ao ao ao = aoo aoo
ao aoo
9.設 (x, tx), (y, ty) 是兩個拓撲空間,f : x → y . 試證以下條件等價:
1 . f 連續;
2 . y 的基 by , b ∈ by f1(b) ∈ tx;
3 . y 的子基 sy , s ∈ sy f1(s) ∈ tx;
4 . x ∈ x, u ∈ uf(x) f1(u) ∈ ux;
5 . x ∈ x, f(x) 的鄰域基 vf(x),v ∈ vf(x) f1(v ) ∈ ux;
6 . x ∈ x, f(x) 的鄰域子基 wf(x), w ∈ wf(x)
點集拓撲複習題 答案
這說明不連通，矛盾.從而是的乙個連通子集8分 3 設是拓撲空間的乙個連通子集,證明 如果和是的兩個無交的開集使得,則或者,或者.證明 因為是的開集，從而是子空間的開集.又因中，故 4分 由於是的連通子集,則中必有乙個是空集.若,則 若,則 8分 4 設x是乙個含有不可數多個點的可數補空間.證明x不滿...
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