tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)
n倍角公式
sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-c(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+c(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…
cos(nα)=cos^nα-c(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+c(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…
半形公式
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)
sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))
csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))
輔助角公式
asinα+bcosα=√(a^2+b^2)sin(α+arctan(b/a))
asinα+bcosα=√(a^2+b^2)cos(α-arctan(a/b))
萬能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
降冪公式
sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
三角和的三角函式
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
其它公式
1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)
cos30°=sin60°
sin30°=cos60°
推導公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2
其他及證明
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0
以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanatanbtan(a+b)+tana+tanb-tan(a+b)=0
cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx
證明：左邊=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （積化和差）
=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右邊
等式得證
sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx
證明:左邊=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)
=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)
=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右邊
等式得證
三倍角公式推導
sin3a
=sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin^2a)
=4sina[(√3/2)^2-sin^2a]
=4sina(sin^260°-sin^2a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-3/4)
=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]
=4cosa(cos^2a-cos^230°)
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述兩式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
三角形面積變形公式的應用
王利超本文結合例項，介紹乙個面積公式的變形（a，b為三角形兩邊長，∠c為a，b邊的夾角）。
已知：如圖1，在△abc中，a，b是邊長，∠c是a，b邊的夾角。
求證：。
圖1證明：如圖1，作底邊bc上的高ah，設其長為h。
在rt△ahc中，sinc，可得h=b·sinc。
。說明：這個公式對於任意三角形均適用，但初中階段尚未學習鈍角的三角函式，我們只討論夾角為銳角的情況。
例已知△abc，分別以ab，bc，ca為邊向形外作等邊三角形abd、等邊三角形bce、等邊三角形acf。
（1）如圖2，當△abc是等邊三角形時，請你寫出滿足圖中條件的四個成立的結論。
圖2（2）如圖3，△abc中只有∠acb=60°時，請你證明s△bce與s△acf的和等於s△abc與s△abd的和。
圖3解：（1）在圖2中，四個等邊三角形組成乙個大的等邊三角形，圖形很特殊，條件也很多。如圖2中菱形就有abec，dacb，abcf等。
這些特殊圖形中，寫出四個成立的結論應該不是難事。
①圖形dafceb構成乙個△def；②△dfe是等邊三角形；③△abc的面積是△def的面積的；④ab∥ef；⑤bcdf。
（2）方法1：如圖4，過a作am⊥bc於m，設bc=a，ac=b，am=h。
圖4s△bce+ s△acf=
=s△acb=。
在rt△acm中，由∠acb=60°可得cm=，am=則。
在rt△amb中，
所以方法2：如圖5，過a作am∥fc交bc於m，連線dm，em，顯然∠acb=∠caf，得af∥mc，四邊形amcf為平行四邊形。又因為fa=fc，所以平行四邊形amcf為菱形，故ac=cm=am，∠mac=60°。
在△bac與△emc中，ca=cm，∠acb=∠mce，cb=ce，所以△bac≌△emc，得ba=em。△adm≌△abc，得dm=bc。
圖5所以dm=eb，db=em，四邊形dbem為平行四邊形。，即
此公式還可以推廣到平行四邊形中。設平行四邊形相鄰兩邊的長為a，b，銳內角為α，則s=absinα。
三角函式公式
兩角和公式 sin a b sinacosb cosasinb sin a b sinacosb cosasinb cos a b cosacosb sinasinb cos a b cosacosb sinasinb tan a b tana tanb 1 tanatanb tan a b tan...
三角函式公式
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三角函式公式總結
兩角和公式 sin a b sinacosb cosasinb sin a b sinacosb cosasinb cos a b cosacosb sinasinb cos a b cosacosb sinasinb tan a b tana tanb 1 tanatanb tan a b tan...