北京市西城區（北區）2011—2012學年度第二學期學業測試
高二數學（文科）
試卷滿分：150分考試時間：120分鐘
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。
9. 已知命題：，，那麼命題為
10. 已知函式若，則實數
11. 設，那麼實數a, b, c的大小關係是
12. 在等比數列中，，，則________.
13. 設函式，，則的最大值為最小值為
14. 如圖，設是拋物線上一點，且在第一象限. 過點作拋物線的切線，交軸於點，過點作軸的垂線，交拋物線於點，此時就稱確定了.依此類推，可由確定，.記，。
給出下列三個結論：
①；②數列是公比為的等比數列；
③當時，.
其中所有正確結論的序號為
三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 .
15. （本小題滿分13分）
設，集合，.
（ⅰ）當a=3時，求集合；
（ⅱ）若，求實數的取值範圍.
16. （本小題滿分13分）
已知公差不為0的等差數列的首項，且成等比數列.
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設數列的前項和為，求數列的前n項和.
17. （本小題滿分13分）
已知函式，其中.
（ⅰ）若函式為奇函式，求實數的值；
（ⅱ）若函式在區間上單調遞增，求實數的取值範圍.
18. （本小題滿分13分）
如圖，要建一間體積為，牆高為的長方體形的簡易倉庫. 已知倉庫屋頂每平方公尺的造價為500元，牆壁每平方公尺的造價為400元，地面造價忽略不計. 問怎樣設計倉庫地面的長與寬，能使總造價最低？
最低造價是多少？
19. （本小題滿分14分）
設函式，其中.
（ⅰ）若函式的圖象在點處的切線與直線平行，求實數的值；
（ⅱ）求函式的極值.
20. （本小題滿分14分）
在數列中，對於任意，等式成立，其中常數.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求證：數列為等比數列；
（ⅲ）如果關於n的不等式的解集為，求b和c的取值範圍.
【試題答案】
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
1. c； 2. d； 3.
b； 4. a； 5. c； 6.
d； 7. b； 8. d.
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
9.，； 1011
121314. ①、③。
注：第13題第乙個空2分，第二個空3分；第14題少選得2分，多選和錯選均不得分.
三、解答題：本大題共6小題，共80分.（如有其他方法，仿此給分）
15. （本小題滿分13分）
（ⅰ）解：因為集合或2分
集合4分
所以或7分
（ⅱ）解：因為，所以11分
解得13分
注：第（ⅱ）問中沒有等號扣分
16. （本小題滿分13分）
（ⅰ）解：設等差數列的公差為
由題意，得，即2分
所以，解得，或（舍），………… 4分
所以6分
（ⅱ）解：由（ⅰ），得， …… 8分所以則
9分11分
， 所以數列的前n項和13分
17. （本小題滿分13分）
（ⅰ）解：因為是奇函式
所以，其中且2分
即, 其中且
所以6分
（ⅱ）解8分
因為在區間上單調遞增,
所以在上恆成立9分
即在上恆成立
因為在上的最小值，
所以驗證知當時，在區間上單調遞增. … 13分
18. （本小題滿分13分）
解：設倉庫地面的長為，寬為，則有，
所以2分
則倉庫屋頂的面積為，牆壁的面積為
所以倉庫的總造價，………………… 5分
將代入上式，整理得． …… 7分
因為，所以，……… 10分
且當，即時，w取得最小值36500．
此時12分
答：當倉庫地面的長為，寬為時，倉庫的總造價最低，最低造價為36500元. ………… 13分
19. （本小題滿分14分）
（ⅰ）解：函式的定義域是1分
對求導數，得. ………… 3分
由題意，得，且，
解得5分
（ⅱ）解：由，得方程，
一元二次方程存在兩解，，………… 6分
當時，即當時，
隨著x的變化，與的變化情況如下表：
即函式在上單調遞減，在上單調遞增.
所以函式在存在極小值8分
當時，即當時，
隨著x的變化，與的變化情況如下表：
即函式在，上單調遞增，在上單調遞減.
所以函式在存在極小值，在存在極大值10分
當時，即當時，
因為（當且僅當時等號成立），
所以在上為增函式，故不存在極值12分
當時，即當時，
隨著x的變化，與的變化情況如下表：
即函式在，上單調遞增，在上單調遞減.
所以函式在存在極大值，在存在極小值；
綜上，當時，函式存在極小值，不存在極大值；
當時，函式存在極小值，存在極大值；
當時，函式不存在極值；
當時，函式存在極大值，存在極小值.
14分20. （本小題滿分14分）
（ⅰ）解：因為，
所以解得3分
（ⅱ）證明：當時，由， ①
得將①，②兩式相減，得,
化簡，得，其中5分
因為，所以，其中6分
因為為常數，
所以數列為等比數列8分
（ⅲ）解：由（ⅱ），得9分
所以， 11分
又因為，
所以不等式化簡為，
當時，考察不等式的解，
由題意，知不等式的解集為，
因為函式在r上單調遞增，
所以只要求且即可，
解得13分
當時，考察不等式的解，
由題意，要求不等式的解集為，
因為，所以如果時不等式成立，那麼時不等式也成立，
這與題意不符，捨去.
所以14分
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