北京市西城區（北區）2011 — 2012學年度第二學期學業測試
高二數學（理科）
試卷滿分：150分考試時間：120分鐘
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
a. b.
c. d.
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
9. 在的展開式中，的係數等於用數字作答）
10. 已知某隨機變數x的分布列如下（）：
則隨機變數x的數學期望=_______，方差
11. 設函式，，則的最大值為最小值為
12. 若4名學生和3名教師站在一排照相，則其中恰好有2名教師相鄰的站法有_______種.（用數字作答）
13. 已知函式在區間 [－2，2]上存在零點，那麼實數a的取值範圍是
14. 如圖，設是拋物線上一點，且在第一象限. 過點作拋物線的切線，交軸於點，過點作軸的垂線，交拋物線於點，此時就稱確定了.依此類推，可由確定，.記，。
給出下列三個結論：
①；②數列為單調遞減數列；
③對於，，使得.[**:學科網]
其中所有正確結論的序號為
三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15. （本小題滿分13分）
在數列中，，，。
（ⅰ）計算，，的值；
（ⅱ）猜想數列的通項公式，並用數學歸納法加以證明.
16. （本小題滿分13分）
甲同學在軍訓中，練習射擊專案，他射擊命中目標的概率是，假設每次射擊是否命中相互之間沒有影響.
（ⅰ）在3次射擊中，求甲至少有1次命中目標的概率；
（ⅱ）在射擊中，若甲命中目標，則停止射擊，否則繼續射擊，直至命中目標，但射擊次數最多不超過3次，求甲射擊次數的分布列和數學期望.
17. （本小題滿分13分）
設，函式的導函式為.
（ⅰ）求的值，並比較它們的大小；
（ⅱ）求函式的極值.
18. （本小題滿分13分）
袋中裝著標有數字1，2，3，4，5的小球各2個，現從袋中任意取出3個小球，假設每個小球被取出的可能性都相等.
（ⅰ）求取出的3個小球上的數字分別為1，2，3的概率；
（ⅱ）求取出的3個小球上的數字恰有2個相同的概率；
（ⅲ）用x表示取出的3個小球上的最大數字，求的值.
19. （本小題滿分14分）
請先閱讀：
（ⅰ）利用上述想法（或其他方法），結合等式 （，整數），證明：；
（ⅱ）當整數時，求的值；
（ⅲ）當整數時，證明：.
20. （本小題滿分14分）
設函式，其中。
（ⅰ）若，求a的值；
（ⅱ）當時，討論函式在其定義域上的單調性；
（ⅲ）證明：對任意的正整數，不等式都成立。
【試題答案】
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
1. d； 2. a； 3.
c； 4. a； 5. b； 6.
b； 7. c； 8. d.
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
9. 401011
12. 2880； 1314. ①、②、③.
注：第10，11題第乙個空2分，第二個空3分；第14題多選、少選均不得分。
三、解答題：本大題共6小題，共80分.（如有其他方法，仿此給分）
15. （本小題滿分13分）
（ⅰ）解：由題意，得3分
（ⅱ）解：由，猜想5分
以下用數學歸納法證明：對任何的。
證明：①當時，由已知，左邊，右邊，等式成立。7分
②假設當時，成立，
則時，所以當時，猜想也成立12分
根據①和②，可知猜想對於任何都成立13分
16. （本小題滿分13分）
（ⅰ）解：記「在3次射擊中，甲至少有1次命中目標 」為事件a。 1分
則表示事件「在3次射擊中，甲沒有命中目標2分
故 4分
所以6分
（ⅱ）解：記甲的射擊次數為x，則x的可能取值為1，2，37分
10分x的分布列為：
11分（環13分
17. （本小題滿分13分）
（ⅰ）解：因為3分
所以4分
因為所以6分
（ⅱ）解：由，得7分
x變化時，與的變化情況如下表
即函式在和內單調遞減，在內單調遞增。 12分
所以當x=a時，有極大值；當時，有極小值13分[**:學科網zxxk]
18. （本小題滿分13分）
（ⅰ）解：記「取出的3個小球上的數字分別為1，2，3」的事件為a， 1分
則答：取出的3個小球上的數字恰有2個相同的概率為4分
（ⅱ）解：記「取出的3個小球上的數字恰有2個相同」的事件為b， 5分
則答：取出的3個小球上的數字分別為1，2，3的概率為8分
（ⅲ）解：由題意，x可以取到2，3，4，5，
所以9分
又因為11分
所以13分[**:學|科|網z|x|x|k]
19. （本小題滿分14分）
（ⅰ）證明：在等式兩邊對x求導，
得2分移項得
即4分（ⅱ）解：在（*）式中，令
得即9分
（ⅲ）證明：由（ⅰ）知
兩邊對x求導得 12分
在上式中，令
得，即14分
20. （本小題滿分14分）
（ⅰ）解： 函式的定義域是1分
對求導，得3分
由得解得4分
（ⅱ）解由（ⅰ）知
令，得，則。
所以當時，
方程存在兩根
x變化時，與的變化情況如下表：
即函式在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增7分
當時，因為
所以（當且僅當時，等號成立），
所以函式在上單調遞增8分
當時，因為
所以函式在上單調遞增。
綜上，當時，函式在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，函式在上單調遞增。
9分（ⅲ）證明：當時，
令則在上恆成立，
所以在上單調遞增10分
則當時，恒有
即當時，有
整理，得11分
對任意正整數n，取得，
所以，整理得12分
則有[**:學#科#網z#x#x#k]
……所以
，即14分
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