蘇北四市2010學年度高三年級第三次調研考試
數學試題
正題部分 (總分160分,考試時間120分鐘)
一、填空題：本大題共14小題,每小題5分,計70分.不需寫出解答過程,請把答案寫在答題紙的指定位置上.
1．若複數(為虛數單位)為純虛數，則實數
2．已知函式的定義域為集合,為自然數集,則集合中元素的個數為3
3．若函式
的部分圖象如圖所示，則的值為 .
4．在矩形中，， ，以邊所在直線為軸旋轉一周，則形成的幾何體的側面積為 .
5．已知向量，且，則 .
6．已知變數滿足，則的最大值是 .9
7．下面是乙個演算法的程式框圖，當輸入值為8時，則其輸出的結果是2
8．在某次數學小測驗後，老師統計了所任兩個班級的數學成績，並製成下面的頻率分布表，請你估計這兩個班的本次數學測驗的平均分為 .
9．一顆正方體骰子，其六個面上的點數分別為1，2，3，4，5，6，將這顆骰子連續拋擲三次，觀察向上的點數，則三次點數依次構成等差數列的概率為________．
10．已知：，：，若是的充分不必要條件，則實數的取值範圍是
11．在數列中，若對任意的均有為定值（），且，則此數列的前100項的和 .299
12．已知橢圓的離心率是，過橢圓上一點作直線交橢圓於兩點，且斜率分別為，若點關於原點對稱，則的值為
13．已知扇形的圓心角為（定值），半徑為（定值），分別按圖
一、二作扇形的內接矩形，若按圖一作出的矩形面積的最大值為，則按圖二作出的矩形面積的最大值為
14．設函式，若且則的取值範圍為
二、解答題：本大題共6小題，計90分.解答應寫出必要的文字說明,證明過程或演算步驟,請把答案寫在答題紙的指定區內.
15．在三角形中，已知，設，
（1）求角的值；
（2）若，其中，求的值.
解：（1）由，得
所以，又因為為三角形的內角，所以，
6分（2）由（1）知：，且，所以8分故
14分16．如圖，平面平面,△是直角三角形，，四邊形是直角梯形,其中,,,
(1)求證：；[**:學科網]
(2)求證:.
16．證明：（1）因為,且是中點，
所以，又， 所以，
所以四邊形為平行四邊形，
2分所以平面,
且平面,故平面,
6分(2)因為，所以，
又平面平面，且平面平面,平面,
所以平面8分
平面，所以,，
所以平面12分
平面，故平面平面14分
17．已知圓的方程為，直線的方程為，點在直線上，過點作圓的切線，切點為．
（1）若，試求點的座標；
（2）若點的座標為，過作直線與圓交於兩點，當時，求直線的方程；
（3）求證：經過三點的圓必過定點，並求出所有定點的座標.
解：（1）設，由題可知，所以，解之得：
故所求點的座標為或4分
（2）設直線的方程為：，易知存在，由題知圓心到直線的距離為，所以6分
解得，或，
故所求直線的方程為：或8分
（3）設，的中點，因為是圓的切線
所以經過三點的圓是以為圓心，以為半徑的圓，
故其方程為10分
化簡得：，此式是關於的恒等式，
故解得或
所以經過三點的圓必過定點或14分
18．已知數列是各項均不為0的等差數列，為其前項和，且滿足，令，數列的前n項和為.[**:學_科_網z_x_x_k]
（1）求數列的通項公式及數列的前n項和為；
（2）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由.
17．解：（1）因為是等差數列，由，
又因為，所以， ……2分
由，所以． ……6分
(2)由(1)知，， 所以，
若成等比數列，則，即．……8分
解法一：由， 可得，
所以， ……12分
從而：，又，且，所以，此時．
故可知：當且僅當， 使數列中的成等比數列。……16分
解法二：因為，故，即，……12分
從而：，（以下同上）．
19．某單位有員工1000名，平均每人每年創造利潤10萬元。為了增加企業競爭力，決定優化產業結構，調整出名員工從事第三產業，調整後他們平均每人每年創造利潤為萬元，剩下的員工平均每人每年創造的利潤可以提高.
（1）若要保證剩餘員工創造的年總利潤不低於原來1000名員工創造的年總利潤，則最多調整出多少名員工從事第三產業？
（2）在（1）的條件下，若調整出的員工創造的年總利潤始終不高於剩餘員工創造的年總利潤，則的取值範圍是多少？
19.（1）由題意得4分
即又所以
即最多調整500名員工從事第三產業6分
（2）從事第三產業的員工創造的年總利潤為萬元，從事原來產業的員工的年總利潤為萬元，則，
10分所以， 所以，
即恆成立12分
因為，當且僅當，即時等號成立．
所以， 又， 所以，
即的取值範圍為16分
20．設函式（），．
(1) 若函式圖象上的點到直線距離的最小值為，求的值；
(2) 關於的不等式的解集中的整數恰有3個，求實數的取值範圍；
(3) 對於函式與定義域上的任意實數，若存在常數，使得和都成立，則稱直線為函式與的「分界線」．設，，試**與是否存在「分界線」？若存在，求出「分界線」的方程；若不存在，請說明理由．
20．解：（1）因為，所以，令
得：，此時2分
則點到直線的距離為，
即，解之得4分
（2）解法一：不等式的解集中的整數恰有3個，
等價於恰有三個整數解，故6分
令，由且，
所以函式的乙個零點在區間，
則另乙個零點一定在區間8分
故解之得10分
解法二：恰有三個整數解，故，即，…………6分
，所以，又因為8分
所以，解之得10分
（3）設，則．
所以當時，；當時，．
因此時，取得最小值，
則與的圖象在處有公共點12分
設與存在 「分界線」，方程為，
即，由在恆成立，則在恆成立 ．
所以成立，[**
因此14分
下面證明恆成立．
設，則．
所以當時，；當時，．
因此時取得最大值，則成立．
故所求「分界線」方程為16分
附加題部分
a．選修4－1（幾何證明選講）
如圖，是邊長為的正方形，以為圓心，為半徑的圓弧與以為直徑的交於點，延長交於．（1）求證：是的中點；（2）求線段的長．[**:z,xx,
[**:學。科。網z。x。x。k]
（1）證明：利用，可證：
（2）由△feb∽△bec，得,∴．
b．選修4－2（矩陣與變換）
已知矩陣，若矩陣屬於特徵值3的乙個特徵向量為，屬於特徵值－1的乙個特徵向量為，求矩陣．
解：由矩陣屬於特徵值3的乙個特徵向量為可得＝3，
即4分由矩陣屬於特徵值2的乙個特徵向量為，可得＝（－1），
即6分解得即矩陣10分
c．選修4－4（座標系與引數方程）
在極座標系中，曲線的極座標方程為，以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角座標系，直線的引數方程為（為引數），求直線被曲線所截得的弦長.
解：將方程，分別化為普通方程：
， ………(6分)
由曲線的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，
故所求弦長為………(10分)
d．選修4—5（不等式選講）
已知實數滿足，求的最小值；[**:z§xx§
解：由柯西不等式可知：
5分故，當且僅當，即：
取得最小值為10分
22．如圖，在正方體中，是稜的中點，在稜上.
且，若二面角的余弦值為，求實數的值.
解：以為正交基底，建立如圖所示的空間直角座標系，
設正方體的稜長為4，則各點的座標分別為2分
設平面法向量為，而，，[**:學科網]
所以，可得乙個法向量=，………6分
設面的乙個法向量為，
則8分即：，又因為點在稜上，所以10分
23．如圖，在某城市中，兩地之間有整齊的方格形道路網，其中、、、是道路網中位於一條對角線上的４個交匯處.今在道路網處的甲、乙兩人分別要到處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發，直到到達為止.
（１）求甲經過到達ｎ的方法有多少種；
（２）求甲、乙兩人在處相遇的概率；
（３）求甲、乙兩人相遇的概率.
解：（１）甲經過，可分為兩步：
第一步，甲從經過的方法數為種；
第二步，甲從到的方法數為種；
所以甲經過到達的方法數為種2分
（２）由（１）知，甲經過的方法數為；乙經過的方法數也為.
所以甲、乙兩人在處相遇的方法數為＝81；
甲、乙兩人在處相遇的概率為6分
（３）甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在、、、處相遇，他們在相遇的走法有種方法；
所以：＝164
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