蘇、錫、常、鎮四市
2011屆高三教學情況調研（一）
數學試題
一、填空題（每小題5分，共70分 ）
1．若集合，，，則＝ ；
2．在平面直角座標系中，雙曲線的漸近線方程為
3．函式的最小正週期為 ；
4．已知是虛數單位，計算的結果是
5．已知奇函式的影象關於直線對稱，當時，，則6．已知常數是負實數，則函式的定義域是
7．某所學校有小學部、初中部和高中部，在校小學生、初中生和高中生人數之比為：：，且已知初中生有人，現採用分層抽樣的方法從這所學校抽取乙個容量為的學生樣本以了解學生對學校文體活動方面的評價，則每個高中生被抽到的概率是
8．右圖給出的是計算的值的乙個程式框圖，其中判斷框內應填入的條件是
9．已知圓的方程為，圓的方程為，過圓上任一點作圓的切線，若直線與圓的另乙個交點為，則當弦的長度最大時，直線的斜率是 ；
10．已知結論：「在三邊長都相等的中，若是的中點，是外接圓的圓心，則」．若把該結論推廣到空間，則有結論：「在六條稜長都相等的四面體中，若是的三邊中線的交點，為四面體外接球的球心，則
11．設等差數列的前項和為,若≤≤，≤≤，則的取值範圍是
12．已知過點的直線與函式的圖象交於、兩點，點**段上，過作軸的平行線交函式的圖象於點，當∥軸，點的橫座標是 ；
13．如圖，在正方形中，為的中點，為以為圓心、為半徑的圓弧上的任意一點，設向量，則的最小值為 ；
14．設，若函式存在整數零點，則的取值集合為
15．（14分）設平面向量＝，，，，
⑴若，求的值；
⑵若，證明和不可能平行；
⑶若，求函式的最大值，並求出相應的值．
16．（14分）在菱形中，，線段的中點是，現將沿折起到的位置，使平面和平面垂直，線段的中點是．
⑴證明：直線∥平面；
⑵判斷平面和平面是否垂直，並證明你的結論．
17．（14分）如圖，為乙個等腰三角形形狀的空地，腰的長為（百公尺），底的長為（百公尺）．現決定在空地內築一條筆直的小路（寬度不計），將該空地分成乙個四邊形和乙個三角形，設分成的四邊形和三角形的周長相等、面積分別為和．
⑴若小路一端為的中點，求此時小路的長度；
⑵求的最小值．
18．（16分）已知橢圓：的離心率為，且過點，設橢圓的右準線與軸的交點為，橢圓的上頂點為，直線被以原點為圓心的圓所截得的弦長為．
⑴求橢圓的方程及圓的方程；
⑵若是準線上縱座標為的點，求證：存在乙個異於的點，對於圓上任意一點，有為定值；且當在直線上運動時，點在乙個定圓上．
19．（16分）
設函式，．
⑴求的極值；
⑵設≤，記在上的最大值為，求函式的最小值；
⑶設函式（為常數），若使≤≤在上恆成立的實數有且只有乙個，求實數和的值．
20．（16分）設數列是乙個無窮數列，記，．
⑴若是等差數列，證明：對於任意的，；
⑵對任意的，若，證明：是等差數列；
⑶若，且，，數列滿足，由構成乙個新數列，，，設這個新數列的前項和為，若可以寫成， ，則稱為「好和」．問，，，中是否存在「好和」，若存在，求出所有「好和」；若不存在，說明理由．
附加題21．選做題
．平面幾何選講（10分）
過圓外一點作圓的兩條切線、，切點分別為、，過點作圓的割線，證明：．
．矩陣與變換（10分）
已知直角座標平面上的乙個變換是先繞原點逆時針旋轉，再作關於軸反射變換，求這個變換的逆變換的矩陣．
．座標系與引數方程（10分）
已知是曲線上的動點，是曲線上的動點，試求線段長的最大值．
．不等式選講（10分）
已知是正數，證明：≥．
22. （10分）
如圖，正方體的稜長為，分別在稜和上（含線段端點）．（10分）
⑴如果,試證明四點共面；
⑵在⑴的條件下，是否存在一點，使得直線和平面所成角等於？如果存在，確定的位置；如果不存在，試說明理由．
23．（10分）
⑴當時，求證：是正整數；
⑵試證明大於的最小整數能被整除（）
簡答：1． 2． 3． 4．
5． 6． 7． 8．
9．或 1011． 12．
13． 14．
15．⑴ ⑵不平行 ⑶
16．⑵垂直
17．⑴為中點時， ⑵
18．⑴橢圓方程：圓的方程：
⑵定值為：，在圓心，半徑為的定圓上
19．⑴極小值
⑵⑶，20．⑴錯位相減⑵作差⑶逆用等比數列求和公式
2122．⑴共面⑵與重合時
23．⑵最小整數為
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