（正題注意事項：
1．本試卷分填空題和解答題兩部分，共160分．考試用時120分鐘．
2．答題前，考生務必將自己的學校、姓名、考試號寫在答題紙的密封線內．答題時，填空題和解答題的答案寫在答題紙上對應題目的空格內，答案寫在試卷上無效．本卷考試結束後，上交答題紙．
3．一律不准使用膠帶紙、修正液、可擦洗的原子筆．
4．文字書寫題統一使用0.5公釐及0.5公釐以上簽字筆．
5．作圖題可使用2b鉛筆，不需要用簽字筆描摹．
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應位置上．
1． 集合的所有子集個數為8
2． 已知複數，（是虛數單位），若為純虛數，則實數
3． 直線x＋ay＋3＝0與直線ax＋4y＋6＝0平行的充要條件是
a＝－2．
4． 函式的值域是0，＋∞）
5． 如圖，程式執行後輸出的結果為64．
6． 橢圓的一條準線方程為，則________．5
7． 已知是兩條不同的直線，為兩個不同的平面，
有下列四個命題：
①若，m⊥n，則；
②若，則；
③若，則；
④若，則．
其中正確的命題是（填上所有正確命題的序號
8． 在△abc中，ab＝2，ac＝1，d為bc的中點，則
9． 一顆正方體骰子，其六個面上的點數分別為1，2，3，4，5，6，將這顆骰子拋擲三次，觀察向上的點數，則三次點數之和等於16的概率為
10． 設等差數列的公差為，若的方差為1，則
11． 已知函式在定義域內是增函式，則實數的取值範圍為
12． 已知乙個正三稜錐p－abc的主檢視如圖所示，若ac＝bc＝，pc＝，則此正三稜錐的全面積為
13． 在銳角△abc中，b＝2，b＝，，則△abc的面積為
14． 已知命題：「在等差數列中，若，則為定值」為真命題，由於印刷問題，括號處的數模糊不清，可推得括號內的數為18
二、解答題：本大題共6小題，共90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15． （本小題滿分14分）
已知函式．
（ⅰ）求函式的單調增區間；
（ⅱ）已知，且，求α的值．
15．解4分
由，得．
∴函式的單調增區間為．………… 7分
（ⅱ）由，得．
10分∴，或，
即或．14分16． （本小題滿分14分）
已知數列的前n項和為，且．
（ⅰ）求數列通項公式；
（ⅱ）若，，求證數列是等比數列，並求數列的前項和．
16．解：（ⅰ）n≥2時4分
n＝1時，，適合上式，
5分8分
即．∴數列是首項為4、公比為2的等比數列10分
12分tn14分
17． （本小題滿分15分）
在四稜錐p－abcd中，∠abc＝∠acd＝90°，∠bac＝∠cad＝60°，pa⊥平面abcd，e為pd的中點，pa＝2ab＝2．
（ⅰ）求四稜錐p－abcd的體積v；
（ⅱ）若f為pc的中點，求證pc⊥平面aef；
（ⅲ）求證ce∥平面pab．
17．解：（ⅰ）在rt△abc中，ab＝1，
∠bac＝60°，∴bc＝，ac＝2．
在rt△acd中，ac＝2，∠cad＝60°，
∴cd＝2，ad＝4．
∴sabcd＝
．……………… 3分
則v5分
（ⅱ）∵pa＝ca，f為pc的中點，
∴af⊥pc7分
∵pa⊥平面abcd，∴pa⊥cd．
∵ac⊥cd，pa∩ac＝a，
∴cd⊥平面pac．∴cd⊥pc．
∵e為pd中點，f為pc中點，
∴ef∥cd．則ef⊥pc9分
∵af∩ef＝f，∴pc⊥平面aef．…… 10分
（ⅲ）證法一：
取ad中點m，連em，cm．則em∥pa．
∵em平面pab，pa平面pab，
∴em∥平面pab． ……… 12分
在rt△acd中，∠cad＝60°，ac＝am＝2，
∴∠acm＝60°．而∠bac＝60°，∴mc∥ab．
∵mc平面pab，ab平面pab，
∴mc∥平面pab． ……… 14分
∵em∩mc＝m，
∴平面emc∥平面pab．
∵ec平面emc，
∴ec∥平面pab． ……… 15分
證法二：
延長dc、ab，設它們交於點n，連pn．
∵∠nac＝∠dac＝60°，ac⊥cd，
∴c為nd的中點12分
∵e為pd中點，∴ec∥pn．……14分
∵ec平面pab，pn平面pab，
∴ec∥平面pab． ……… 15分
18． （本小題滿分15分）
經市場調查，某超市的一種小商品在過去的近20天內的銷售量（件）與**（元）均為時間t（天）的函式，且銷售量近似滿足g(t)＝80－2t（件），**近似滿足（元）．
（ⅰ）試寫出該種商品的日銷售額y與時間t（0≤t≤20）的函式表示式；
（ⅱ）求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．
18．解：（ⅰ）…… 4分
8分（ⅱ）當0≤t＜10時，y的取值範圍是[1200，1225]，
在t＝5時，y取得最大值為122511分
當10≤t≤20時，y的取值範圍是[600，1200]，
在t＝20時，y取得最小值為60014分
（答）總之，第5天，日銷售額y取得最大為1225元；
第20天，日銷售額y取得最小為600元15分
19． （本小題滿分16分）
已知點p（4，4），圓c：與橢圓e：有乙個公共點a（3，1），f1、f2分別是橢圓的左、右焦點，直線pf1與圓c相切．
（ⅰ）求m的值與橢圓e的方程；
（ⅱ）設q為橢圓e上的乙個動點，求的取值範圍．
19．解：（ⅰ）點a代入圓c方程，
得．∵m＜3，∴m＝1． …… 2分
圓c：．
設直線pf1的斜率為k，
則pf1：，
即．∵直線pf1與圓c相切，
∴．解得4分
當k＝時，直線pf1與x軸的交點橫座標為，不合題意，捨去．
當k＝時，直線pf1與x軸的交點橫座標為－4，
∴c＝4．f1（－4，0），f2（4，06分
2a＝af1＋af2＝，，a2＝18，b2＝2．
橢圓e的方程為8分2
（ⅱ），設q（x，y），，
10分∵，即，
而，∴－18≤6xy≤1812分
則的取值範圍是[0，36]． ……… 14分
的取值範圍是[－6，6]．
∴的取值範圍是[－12，016分
20． （本小題滿分16分）
已知函式圖象上一點p（2，f(2)）處的切線方程為．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若方程在內有兩個不等實根，求的取值範圍（其中為自然對數的底，）；
（ⅲ）令，如果圖象與軸交於，ab中點為，求證：．
20．解：（ⅰ），，．
∴，且2分
解得a＝2，b＝14分
（ⅱ），令，
則，令，得x＝1（x＝－1捨去）．
在內，當x∈時，，∴h(x)是增函式；
當x∈時，，∴h(x)是減函式7分
則方程在內有兩個不等實根的充要條件是……10分
即12分
（ⅲ），．
假設結論成立，則有
①－②，得．
∴．由④得，
∴．即．
即14分
令，（0＜t＜1)，
則＞0．∴在0＜t＜1上增函式．
，∴⑤式不成立，與假設矛盾．
16分數學（附加題）
21．（選做題）從a，b，c，d四個中選做2個，每題10分，共20分．
a．選修4—1 幾何證明選講
如圖，在△abc中，ab＝ac，以ab為直徑的圓
交ac於d．求證：．
b．選修4—2 矩陣與變換
已知矩陣，求特徵值λ1，λ2及對應的特徵向量α1，α2．
c．選修4—4 引數方程與極座標
已知直線和圓，判斷直線和圓的位置關係．
d．選修4—5 不等式證明選講
若，證明 。
必做題（每題10分，共20分）
22。正方體abcd－a1b1c1d1的稜長為2，點e為a1a的中點。
（ⅰ）求所成角的大小；
（ⅱ）到平面的距離。
23．已知方程為常數。
（ⅰ）若，，求方程的解的個數的期望；
（ⅱ）若內等可能取值，求此方程有實根的概率．
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