汪蘭蘇州工業園區星海學校
【課標要求】
（1）認識圓並掌握圓的有關概念和計算
①知道圓由圓心與半徑確定，了解圓的對稱性.
②通過圖形直觀識別圓的弦、弧、圓心角等基本元素.
③利用圓的對稱性探索弧、弦、圓心角之間的關係，並會進行簡單計算和說理.
④探索並了解圓周角與圓心角的關係、直徑所對圓周角的特徵.
⑤掌握垂徑定理及其推論，並能進行計算和說理.
⑥了解三角形外心、三角形外接圓和圓內接三角形的概念.
⑦掌握圓內接四邊形的性質
（2）點與圓的位置關係
①能根據點到圓心的距離和半徑的大小關係確定點與圓的位置關係.
②知道「不在同一直線上的三個點確定乙個圓」並會作圖.
（3）直線與圓的位置關係
①能根據圓心到直線的距離和半徑的大小關係確定直線與圓的位置關係.
②了解切線的概念.
③能運用切線的性質進行簡單計算和說理.
④掌握切線的識別方法.
⑤了解三角形內心、三角形內切圓和圓的外切三角形的概念.
⑥能過圓上一點畫圓的切線並能利用切線長定理進行簡單的切線計算.
（4）圓與圓的位置關係
①了解圓與圓的五種位置關係及相應的數量關係.
②能根據兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的數量關係判定兩圓的位置關係.
③掌握兩圓公切線的定義並能進行簡單計算
（5）圓中的計算問題
①掌握弧長的計算公式，由弧長、半徑、圓心角中已知兩個量求第三個量.
②掌握求扇形面積的兩個計算公式，並靈活運用.
③了解圓錐的高、母線等概念.
④結合生活中的例項(模型)了解圓柱、圓錐的側面展開圖.
⑤會求圓柱、圓錐的側面積、全面積，並能結合實際問題加以應用.
⑥能綜合運用基本圖形的面積公式求陰影部分面積.
【課時分布】
圓的部分在第一輪複習時大約需要8個課時，其中包括單元測試.下表為內容及課時安排（僅供參考）.
用心愛心專心121號編輯 1
（1）掌握圓的有關性質和計算
① 弧、弦、圓心角之間的關係:
在同圓或等圓中，如果兩條劣弧（優弧）、兩條兩個圓心角中有一組量對應相等，那
麼它們所對應的其餘各組量也分別對應相等.
② 垂徑定理: 垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧．
垂徑定理的推論:
平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧.
弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧.
平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧．
③ 在同一圓內，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於該弧所對的圓心角的一半.
④ 圓內接四邊形的性質:
圓的內接四邊形對角互補，並且任何乙個外角等於它的內對角.
（2）點與圓的位置關係
① 設點與圓心的距離為d ，圓的半徑為r ，
則點在圓外d r >； 點在圓上d r =； 點在圓內d r <．
② 過不在同一直線上的三點有且只有乙個圓. 乙個三角形有且只有乙個外接圓.
③ 三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點.
三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等.
（3）直線與圓的位置關係
① 設圓心到直線l 的距離為d ，圓的半徑為r ，
則直線與圓相離d r >；直線與圓相切d r =；直線與圓相交d r <．
② 切線的性質:與圓只有乙個公共點；
圓心到切線的距離等於半徑；
圓的切線垂直於過切點的半徑.
③ 切線的識別:如果一條直線與圓只有乙個公共點，那麼這條直線是圓的切線.
到圓心的距離等於半徑的直線是圓的切線.
經過半徑的外端且垂直與這條半徑的直線是圓的切線.
④ 三角形的內心是三角形三條內角平分線的交點.
三角形的內心到三角形三邊的距離相等.
⑤ 切線長：圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長.
⑥ 切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等.
這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.
（4）圓與圓的位置關係
① 圓與圓的位置關係有五種:外離、外切、相交、內切、內含.
設兩圓心的距離為d ，兩圓的半徑為12r r 、，則兩圓外離12d r
r >兩圓外切12d r r =+
兩圓相交1212r r d r r -<<+
兩圓內切12d r r =-
兩圓內含12d r r 《兩個圓構成軸對稱圖形，連心線（經過兩圓圓心的直線）是對稱軸.
由對稱性知:兩圓相切，連心線經過切點. 兩圓相交，連心線垂直平分公共弦.
③ 兩圓公切線的定義:和兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線.
兩個圓在公切線同旁時,這樣的公切線叫做外公切線.
兩個圓在公切線兩旁時,這樣的公切線叫做內公切線.
④ 公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長.
（5）與圓有關的計算
① 弧長公式：180n r l π= 扇形面積公式：213602
n r s lr π==扇形 （其中為n 圓心角的度數，r 為半徑）
② 圓柱的側面展開圖是矩形．
圓柱體也可以看成是乙個矩形以矩形的一邊為軸旋轉而形成的幾何體．
圓柱的側面積＝底面周長×高
圓柱的全面積＝側面積＋２×底面積
③ 圓錐的側面展開圖是扇形，這個扇形的弧長等於圓錐底面的周長，扇形的半徑等於
圓錐的母線長．
圓錐體可以看成是由乙個直角三角形以一條直角邊為軸旋轉而成的幾何體．
④ 圓錐的側面積＝12
×底面周長×母線；圓錐的全面積＝側面積＋底面積 3、能力要求
例1 如圖，ac 為⊙o 的直徑，b 、d 、e 都是⊙o 上的點，求∠a +∠b +∠c 的度數.
【分析】由ac 為直徑，可以得出它所對的圓周角是直角，所以鏈結ae ，這樣將∠cad （∠a ）、
∠c 放在了△aec 中，而∠b 與∠ead 是同弧所對的圓周角相等，這樣
問題迎刃而解． 【解鏈結ae
∵ac 是⊙o 的直徑 ∴∠aec =90o ∴∠cad +∠ead +∠c =90o
∵ed ed =⌒⌒
∴∠b =∠ead
∴∠cad +∠b +∠c =90oc
【說明】這裡通過將∠b 轉化為∠ead ，從而使原本沒有聯絡的∠a 、∠b 、∠c 都在 △aec 中，又利用「直徑對直角」得到它們的和是90o ．解題中一方面注意到了隱含條件「同弧所對的圓周角相等」，另一方面也注意到了將「特殊的弦」（直徑）轉化為「特殊的角」（直角），很好地體現了「轉化」的思想方法．
例2 △abc 中，ac ＝6，bc ＝8，∠c =90o ，以點c 為圓心，ca 為半徑的圓與ab 交於點d ，求ad
的長．【分析】圓中有關弦的計算問題通常利用垂徑定理構造直角三角形求解，所以作ch ⊥ab ，這只
要求出ah 的長就能得出ad 的長．
【解作ch ⊥ab ，垂足為h
∵∠c =90o ，ac ＝6，bc ＝8 ∴ab =10
∵∠c =90o ， ch ⊥ab
∴2ac ah ab 又∵ac ＝6， ab =10 ∴ ah ＝3.6
∵ch ⊥ab ∴ad =2ah ∴ad =7.2 答：ad 的長為7.2．
【說明】解決與弦有關的問題，往往需要構造垂徑定理的基本圖形——由半徑、弦心距、弦的
一半構成的直角三角形，它是解決此類問題的關鍵.定理的應用必須與所對應的基本圖形相結合，教師在複習時要特別注重基本圖形的掌握.
例3 (１)如圖，△abc 內接於⊙o ，ab 為直徑，∠cae =∠b ，試說明ae 與⊙o 相切於點a ． (２)在（１）中，若ab 為非直徑的弦，∠cae =∠b ，ae 還與⊙o 相切於點a 嗎？請說明
【分析】第(１)小題中，因為ab 為直徑，只要再說明∠bae 為直角即可．第
(２)小題中，ab 為
非直徑的弦，但可以轉化為第(１)小題的情形．
【解】 (１)∵ab 是⊙o 的直徑 ∴∠c =90o
∴∠bac ＋∠b =90
o又∵∠cae =∠bbac ＋∠cae =90
o即∠bae =90o ∴ae 與⊙o 相切於點a ．
(２)鏈結ao 並延長交⊙o 於d ，鏈結cd .
∵ad 是⊙o 的直徑 ∴∠acd =90o
∴∠d ＋∠cad =90
o又∵∠d =∠bb ＋∠cad =90
o 又∵∠cae =∠bcae ＋∠cad =90
o 即∠ead =90o ∴ae 仍然與⊙o 相切於點a ．
【說明】本題主要考查切線的識別方法．這裡可以引導學生依據第(1)小題的特殊情況,大膽提
出猜想,滲透「由特殊到一般」的數學思想方法，這對於學生的探索能力培養非常重要.
e b a d eab
例4 如圖，已知⊙o 的直徑ab 垂直於弦cd 於e ，鏈結ad 、bd 、oc 、od ，
且od ＝5．
（1）若sin ∠bad =35
，求cd 的長． （2）若 ∠ado ：∠edo ＝4：1，求扇形oac （陰影部分）的面積（結果保留π）．
【分析】圖形中有 「直徑對直角」，這樣就出現了「直角三角形及斜邊上的高」的基本圖形，
求cd 的長就轉化為求de 的長.第（2）小題求扇形oac 的面積其關鍵是求∠aod 的度數，從而轉化為求∠aod 的大小．
【解】（1ab 是⊙o 的直徑，od ＝5
∴∠adb ＝90°，ab ＝10
又∵在rt △abd 中，3sin 5bd bad abbd =6 ∵∠adb ＝90°，ab ⊥cd ∴ bd 2=be ·ab cd = 2deab ＝10 bd =6 ∴be =
185在rt △ebd 中，由勾股定理得 de =245cd de ==2485
答：cd 的長為485． （2）∵ab 是⊙o 的直徑，ab ⊥cd
∴cb bd ac ad ⌒⌒⌒⌒，==
∴∠bad ＝∠cdb ，∠aoc ＝∠aod
∵ao ＝do ∴∠bad ＝∠ado
∴∠cdb ＝∠ado
設∠ado ＝4k ，則∠cdb ＝4k
由∠ado ：∠edo ＝4：1，則∠edo ＝k
∵∠ado ＋∠edo ＋∠edb ＝90°
∴4490k k k ++= 得k ＝10°
∴∠aod ＝180°－（∠oad ＋∠ado ）＝100°
∴∠aoc ＝∠aod ＝100° 則s oac 扇形==100360512518
2ππ 答：扇形oac 的面積為12518
π 【說明】本題涉及到了圓中的重要定理、直角三角形的邊角關係、扇形面積公式等知識點的綜
合，考查了學生對基本圖形、基本定理的掌握程度．求de 長的方法很多，可以用射影定理、勾股定理，也可以運用面積關係來求，但都離不開「直角三角形及斜邊上的高」這個基本圖形．解題中也運用了比例問題中的設k 法，同時也滲透了「轉化」的思想方法．
例5 半徑為2.5的⊙o 中，直徑ab 的不同側有定點c 和動點p ．已知bc ：ca =4 : 3，點p 在
半圓ab 上運動（不與a 、b 兩點重合），過點c 作cp 的垂線，與pb 的延長線交於點q .
(l )當點p 與點c 關於ab 對稱時，求cq 的長；
(2)當點p 運動到半圓ab 的中點時，求cq 的長；
(3) 當點p 運動到什麼位置時，cq 取到最大值？求此時cq 的長．
【分析】當點p 與點c 關於ab 對稱時，cp 被直徑垂直平分，由垂徑定理求出cp 的長，再由rt
△acb ∽rt △pcq ，可求得cq 的長．當點p 在半圓ab 上運動時，雖然p 、q 點的位置
在變，但△pcq 始終與△acb 相似，點p 運動到半圓ab 的中點時，∠pcb ＝４５o ，作
be ⊥pc 於點e ， cp ＝pe +ec ．由於cp 與cq 的比值不變，所以cp 取得最大值時cq 也最大．
【解】 (l )當點p 與點c 關於ab 對稱時，cp ⊥ab ，設垂足為d .
∵ab 為⊙o 的直徑，
∴∠acb =900.
∴ab =5，ac ：ca =4：3
∴bc =4，ac =3
s rt △acb =12ac ·bc =12
ab ·cd ∴ 1224,.55
cd pc在rt △acb 和rt △pcq 中， ∠acb ＝∠pcq =900, ∠cab ＝∠cpq ，
∴ rt △acb ∽rt △pcq
∴ ac bc pc cq
43235bc pc cq pc ac2)當點p 運動到弧ab 的中點時，過點b 作be ⊥pc 於點e （如圖）.
∵p 是弧ab 的中點，
∴045,2pcb ce be bc ∠===
= 又∠cpb =∠cab
∴∠cpb = tan ∠cab =43
∴3tan 42
be pe be cpb ===∠
從而pc pe ec =+= 由（l
）得，43cq pc == (3）點p 在弧ab 上運動時，恒有43
bc pc cq pc ac故pc 最大時，cq 取到最大值當pc 過圓心o ，即pc 取最大值5時，cq 最大值為
203 【說明】本題從點p 在半圓ab 上運動時的兩個特殊位置的計算問題引申到求cq 的最大值，一
方面滲透了「由特殊到一般」的思想方法，另一方面運用「運動變化」觀點解決問題時，尋求變化中的不變性（題中的rt △acb ∽rt △pcq ）往往是解題的關鍵． p
【複習建議】
①教材對圓的知識要求有了適當的降低，但教學中必須注重指導學生在較複雜的「背
景」下分析出隱含的基本圖形，或通過新增適當的輔助線，構造或分解基本圖形．學
會將較複雜問題轉化為易解決問題.
②對於常見的輔助線的添法，在解題中可以多加引導．
③注意圓中一些隱含條件的作用．如：「同弧所對的圓周角相等」；「半徑都相等」．
④由特殊到一般、轉化、方程、分類討論等思想方法以及運動變化觀點的滲透，在圓
的綜合問題中更能提高學生解決問題能力，在複習時應及時歸納並注重方法的指導．
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