數學ⅰ試題
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。
1. 已知全集為實數集，，則 ▲ ．
2．複數（i是虛數單位）的虛部為 ▲ ．
3．設向量a，b滿足：，，則 ▲ ．
4. 角的頂點在原點，始邊與x軸正半軸重合，點p是角終邊上一點，則= ▲ ．
5．在平面直角座標系xoy中，直線與直線互相垂直的充要條件是m= ▲ ．
6．函式的最小正週期是 ▲ ．
7．拋擲甲、乙兩枚質地均勻且四面上分別標有1，2，3，4的正四面體，其底面落於桌面，記所得的數字分別為x，y，則為整數的概率是 ▲ ．
8．為了解高中生用電腦輸入漢字的水平，隨機抽取了部分學生進行每分鐘輸入漢字個數測試，下圖是根據抽樣測試後的資料繪製的頻率分布直方圖，其中每分鐘輸入漢字個數的範圍是[50，150]，樣本資料分組為[50，70），[70，90）， [90，110），[110，130），[130，150]，已知樣本中每分鐘輸入漢字個數小於90的人數是36，則樣本中每分鐘輸入漢字個數大於或等於70個並且小於130個的人數是 ▲ ．
9．執行如圖所示程式框圖後，輸出的結果是 ▲ ．
10．已知直線與曲線相切，則的值為 ▲ ．
11. 關於直線和平面，有以下四個命題：
①若，則；②若，則；
③若，則且；④若，則或.
其中假命題的序號是 ▲ ．
12.過雙曲線的乙個焦點f作一條漸近線的垂線，若垂足恰**段of（o為原點）的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為 ▲ ．
13. 定義：如果乙個向量列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等於同乙個常向量，那麼這個向量列叫做等差向量列，這個常向量叫做等差向量列的公差．
已知向量列是以為首項，公差的等差向量列．若向量與非零向量垂直，則= ▲ ．
14. 三位同學合作學習，對問題「已知不等式對於恆成立,求的取值範圍」提出了各自的解題思路.
甲說：「可視為變數，為常量來分析」；
乙說：「不等式兩邊同除以2，再作分析」；
丙說：「把字母單獨放在一邊，再作分析」．
參考上述思路，或自已的其它解法，可求出實數的取值範圍是 ▲ ．
二、解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15、（本題滿分14分）
已知，，其中，
若函式，且函式的圖象與直線相鄰兩公共點間的距離為.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）在中，a、b、c分別是角a、b、c、的對邊，且， ，求的面積．
16. （本小題滿分1 5分）
如圖所示，在稜長為2的正方體中，、分別為、的
中點．（1）求證：//平面；
（2）求證：；
（3）求三稜錐的體積．
17. （本小題滿分14分）
已知直線：，直線：，其中，．
（1）求直線的概率；
（2）求直線與的交點位於第一象限的概率．
18. （本小題滿分15分）
如圖所示,已知圓交x軸分別於a,b兩點,交y軸的負半軸於點m,過點m作圓e的弦mn．
（1）若弦mn所在直線的斜率為2,求弦mn的長；
（2）若弦mn的中點恰好落在x軸上,求弦mn所在直線的方程；
（3）設弦mn上一點p(不含端點)滿足成等比數列(其中o為座標原點),試探求的取值範圍．
19．（本小題滿分16分）
(其中a、b是常數，)．
(1)求a、b的值； (2)求證；
(3)已知k是正整數，不等式求k的最小值．
20．（本小題滿分16分）
已知二次函式g（x）對任意實數x都滿足，且．令
．（1）求 g(x)的表示式；（2）若使成立，求實數m的取值範圍；
（3）設，，
證明:對，恒有．
數學ⅱ(附加題)
21．【選做題】
b．選修4—2 矩陣與變換（本題滿分10分）
已知矩陣 ,a的乙個特徵值，其對應的特徵向是是.
（1）求矩陣；
（2）若向量，計算的值.
c．選修4—4 引數方程與極座標（本題滿分10分）
已知圓和圓的極座標方程分別為，．
（1）把圓和圓的極座標方程化為直角座標方程；
（2）求經過兩圓交點的直線的極座標方程．
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
22．在一次運動會上，某單位派出了有6名主力隊員和5名替補隊員組成的代表隊參加比賽．
（1）如果隨機抽派5名隊員上場比賽，將主力隊員參加比賽的人數記為x，求隨機變數x的數學期望；
（2）若主力隊員中有2名隊員在練習比賽中受輕傷，不宜同時上場；替補隊員中有2名隊員身材相對矮小，也不宜同時上場；那麼為了場上參加比賽的5名隊員中至少有3名主力隊員，教練員有多少種組隊方案？
23．如圖，直三稜柱abc－a1b1c1中，底面是等腰直角三角形，
ab＝bc=，bb1＝3，d為a1c1的中點，f**段aa1上．
（1）af為何值時，cf⊥平面b1df？
（2）設af=1，求平面b1cf與平面abc所成的銳二面角
的余弦值．
參***
數學ⅰ試題
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。
1. 已知全集為實數集，，則 ▲ ．
2．複數（i是虛數單位）的虛部為
3．設向量a，b滿足：，，則 ▲ ． 2
4. 角的頂點在原點，始邊與x軸正半軸重合，點p是角終邊上一點，則
5．在平面直角座標系xoy中，直線與直線互相垂直的充要條件是m= ▲ ．
6．函式的最小正週期是 ▲ ．
7．拋擲甲、乙兩枚質地均勻且四面上分別標有1，2，3，4的正四面體，其底面落於桌面，記所得的數字分別為x，y，則為整數的概率是 ▲ ．
8．為了解高中生用電腦輸入漢字的水平，隨機抽取了部分學生進行每分鐘輸入漢字個數測試，下圖是根據抽樣測試後的資料繪製的頻率分布直方圖，其中每分鐘輸入漢字個數的範圍是[50，150]，樣本資料分組為[50，70），[70，90）， [90，110），[110，130），[130，150]，已知樣本中每分鐘輸入漢字個數小於90的人數是36，則樣本中每分鐘輸入漢字個數大於或等於70個並且小於130個的人數是 ▲ ．90
9．執行如圖所示程式框圖後，輸出的結果是 ▲ ． 10
10．已知直線與曲線相切，則的值為 ▲ ．3
11. 關於直線和平面，有以下四個命題：
①若，則；②若，則；
③若，則且；④若，則或.
其中假命題的序號是 ▲ ．①③④
12. 在直角座標系xoy中，過雙曲線的左焦點f作圓的一條切線（切點為t）交雙曲線右支於點p，若m為fp的中點。則|om|－|mt|等於 ▲ ．
b-a．
13. 定義：如果乙個向量列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等於同乙個常向量，那麼這個向量列叫做等差向量列，這個常向量叫做等差向量列的公差．
已知向量列是以為首項，公差的等差向量列．若向量與非零向量垂直，則
14. 三位同學合作學習，對問題「已知不等式對於恆成立,求的取值範圍」提出了各自的解題思路.
甲說：「可視為變數，為常量來分析」；
乙說：「不等式兩邊同除以2，再作分析」；
丙說：「把字母單獨放在一邊，再作分析」．
參考上述思路，或自已的其它解法，可求出實數的取值範圍是 ▲ ．
二、解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15、（本題滿分14分）
已知，，其中，
若函式，且函式的圖象與直線相鄰兩公共點間的距離為.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）在中，a、b、c分別是角a、b、c、的對邊，且， ，求的面積．
解：（ⅰ）
3分 函式的週期
函式的圖象與直線相鄰兩公共點間的距離為.
8分（ⅱ）由（ⅰ）可知，
10分由餘弦定理知
又聯立解得或12分
14分 （或用配方法，
）16. （本小題滿分1 5分）
如圖所示，在稜長為2的正方體中，、分別為、的
中點．（1）求證：//平面；
（2）求證：；
（3）求三稜錐的體積．
證明：（1）鏈結，在中，、分別為，的中點，則
4分（2）9分
（3） 且
，∴ 即
14分17. （本小題滿分14分）
已知直線：，直線：，其中，．
（1）求直線的概率；
（2）求直線與的交點位於第一象限的概率．
（1）解：直線的斜率，直線的斜率．
設事件為「直線」．
，的總事件數為共36種．
若，則，即，即．
滿足條件的實數對有、、共三種情形．
所以．答：直線的概率為6分
（2）解：設事件為「直線與的交點位於第一象限」，由於直線與有交點，則．
聯立方程組解得
因為直線與的交點位於第一象限，則
即解得．
，的總事件數為共36種．
滿足條件的實數對有、、、、、共六種．
所以．答：直線與的交點位於第一象限的概率為14分
18. （本小題滿分15分）
如圖所示,已知圓交x軸分別於a,b兩點,交y軸的負半軸於點m,過點m作圓e的弦mn．
（1）若弦mn所在直線的斜率為2,求弦mn的長；
（2）若弦mn的中點恰好落在x軸上,求弦mn所在直線的方程；
（3）設弦mn上一點p(不含端點)滿足成等比數列(其中o為座標原點),試探求的取值範圍．
解：（1）在圓e的方程中令x=0,得m(0,－1),又,
所以弦mn所在直線的方程為,即．
∵圓心到直線mn的距離為,且,∴．
（2）因為,所以,代入圓e的方程中得．
由m(0,－1), 得直線mn的方程為或．
易得,設,
則由,得,化簡得 ①
由題意知點p在圓e內,所以,結合①,得,解得．從而=．
19．（本小題滿分16分）
(其中a、b是常數，)．
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