江蘇省啟東市2014屆高三高考最後一捲
數學試卷
2014.5
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上。
1．若複數滿足·i＝1－i，則
2．已知函式f(x)＝lg(x－x2)，則函式y＝f(x2－1)的定義域為___▲____．
3．為了了解一片經濟林的生長情況，隨機測量了其中
100株樹木的底部周長(單位：cm)．根據所得資料
畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，那麼在這100
株樹木中，底部周長小於110cm的株數是___▲___．
4. 滿足m ，且m∩＝的集合m的個數是__▲__．
5．先後拋擲兩枚均勻的正方體骰子（它們的六個面分別標有點數1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面得點數分別為x、y，則的概率為___▲____．
6．執行如下程式框圖，如果輸入n=5，那麼輸出的
s用分數表示）．
7．已知函式，對任意實數都存在實數，
使得≤≤ 成立，且的最小值為，則
函式的單調遞減區間為
8．設雙曲線的右焦點與拋物線的焦點相同，
離心率為2，則此雙曲線的方程為___▲____．
9．正方體abcd—a1b1c1d1的稜長為1，線段b1d1上
有兩個動點e，f，且，則下列結論中正
確的序號是
（1）ac⊥be2）ef//平面abcd；
（3）面aef⊥面bef； （4）三稜錐a—bef的體積為定值．
10．已知△abc中，點g滿足，，則的最小值為___▲____．
11．在平面直角座標xoy中，設圓m的半徑為1，圓心在直線x-y-1=0上,若圓m上存在點n，使no =，其中a（0，3），則圓心m橫座標的取值範圍___▲____．
12．已知函式，若函式有三個零點，則的取值範圍是___▲____．
13.已知函式若對於正數，直線與函式的圖象恰有個不同交點，則數列的前項和為___▲____．
14．若實數a，b，c滿足a≤b≤c且ab+bc+ca=0，abc=1，不等式|a+b|≥k|c|恆成立，則實數k的最大值為___▲____．
二、解答題：本大題共6小題，共90分。請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．在中，內角的對邊分別為且．
（1）判斷的形狀；
（2）若，求的取值範圍．
16．在三稜柱abc—a1b1c1中，aa1⊥bc，∠a1ac＝60°，aa1＝ac＝bc＝1，a1b＝.
（1）求證：平面a1bc⊥平面acc1a1；
（2）如果d為ab的中點，求證：bc1∥平面a1cd.
17．汽車從剎車開始到完全靜止所用的時間叫做剎車時間；所經過的距離叫做剎車距離。某型汽車的剎車距離s(單位公尺)與時間t(單位秒)的關係為，其中k是乙個與汽車的速度以及路面狀況等情況有關的量．
（1）當k=8時，且剎車時間少於1秒，求汽車剎車距離；
（2）要使汽車的剎車時間不小於1秒鐘，且不超過2秒鐘，求k的取值範圍．
18．如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，過的直線交橢圓於兩點，△的周長為，且△面積最大時，△為直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）設動直線與橢圓有且只有乙個公共點，且與直線相交於點，證明：點在以為直徑的圓上；
（3）試問，是否存在軸上的點，使得為定值，若存在，求出點的座標，若不存在，說明理由.
19．已知函式（a∈r）
（1）求函式f (x)的單調區間；
（2）設函式，若，
使得成立，求實數a的取值範圍；
（3）若方程有兩個不相等的實數根，求證．
20．已知無窮數列中，a1，a2，…，am是首項為2,公差為3的等差數列;am+1，am+2， …，a2m是首項為2，公比為2的等比數列(其中 m≥3,m∈n*),並對任意的n∈n*,均有an+2m=an成立. 高考資源網
(1)當m=14時,求a1000；
(2)若a52=128,試求m的值．
(3)，求滿足條件an＝128的所n的值(用m表示)．
(ⅱ)附加題
考試時間30分鐘；滿分40分
21b 矩陣與變換： 已知a，b∈r，若所對應的變換把直線變換為自身，求實數，並求的逆矩陣．
21c 極座標與引數方程： 已知點p是曲線上一點，o為原點．若直線op的傾斜角為，求點的直角座標．
22．如圖，已知三稜柱abc—a1b1c1的側稜與底面垂直，aa1＝ab＝ac＝1，ab⊥ac，m、n分別是cc1、bc的中點，點p在直線a1b1上，且滿足（r）．
（1）證明：pn⊥am；
（2）若平面pmn與平面abc所成的角為45°，試確定點p的位置．
23．乙個非空集合中的各個元素之和是3的倍數，則稱該集合為「好集」．
記集合 的子集中所有「好集」的個數為f(n)．
（1）求f(1)，f(2)的值；
（2）求f(n)的表示式．
啟東市2014屆高三模擬考試數學試卷答案
一、填空題：1．－1－i 2． (－，－1)∪(1，) 3．70 4．2個 5．
6． 7． 8． 9．（1），（2）（4）
10．由，知點g是重心，設bc中點為d，ac中點為e，設ge= n,gd=m,則bg=2n,ag=2m.所以tanb=，tana=，≥
11．設n(x,y), 由no =，得，再設圓心m橫座標為a,其圓方程為，問題轉化為兩圓有共公點，所以1≤≤3，從而得0≤a≤． 12．
13.，解析：函式的圖象是一系列半徑為1的半圓，因為直線與函式的圖象恰有個不同交點，所以直線與第n+1個半圓相切，所以，所以
14．解析：由題知ab=，，a，b是方程兩個小於等於c（隱含c >0）的兩個根，只需≥0即可，≤，所以k≤，即k≤4
二、解答題：
15．解：（1）由，得，
即，由正弦定理得3分
，，，因為在三角形中，所以或，
又為等腰三角形7分
（2）取中點連，則.，
，------10分
令，∵，∴在上是增函式，
14分16．證明：（1）在△a1ac中，∠a1ac＝60°，aa1＝ac＝1，
∴a1c＝1，
△a1bc中，bc＝1，a1c＝1，a1b＝，
∴bc⊥a1c2分
又aa1⊥bc，∴bc⊥平面acc1a14分
∵bc平面a1bc，
∴平面a1bc⊥平面acc1a16分
（2）連線ac1，交a1c於o，連線do，
∵acc1a1是平行四邊形，∴o為ac1的中點8分
在△abc1中，∵d為ab中點，∴od是中位線，
∴od∥bc110分
od平面a1dc，bc1平面a1dc12分
∴bc1∥平面a1dc14分
17．解：（１）當時，，
這時汽車的瞬時速度為v1分
令，解得（舍）或3分
當時，，
所以汽車的剎車距離是公尺6分
（２）汽車的瞬時速度為，所以
汽車靜止時，
故問題轉化為在內有解7分
又，，當且僅當時取等號8分
，記，，，，單調遞增，----10分
，，即13分
故的取值範圍為14分
18．（1）解：當三角形面積最大時，為直角三角形，此時，根據題意得
2分故，
即橢圓的方程為4分
（2）證明：由，
得方程由直線與橢圓相切得，所以6分
設點，則8分
所以，又，9分則
故在以為直徑的圓上10分
（3）若過的直線的斜率存在，設其方程為
由得11分
設由韋達定理得： ∴==
==，----（14分）
當，即時，=為定值，
若過的直線的斜率不存在，則，
=為定值，
綜上所述，存在點，使得為定值16分）
19．解：（11分
當時，函式在上單調遞增，所以函式的單調增區間為；
當時，由得由得所以函式的單調增區間為，單調減區間為3分
（2）當時4分
則令得或（捨去6分
當時，①當時，則顯然成立，即
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