啟東中學2013屆高三數學
（綜合）訓練一
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．
1.若複數滿足（是虛數單位），則 .
2.已知全集，集合，，則集合= .
3. 設，則a，b，c的大小關係是
4. 函式對於任意實數滿足條件，若，則 ．
5. 已知函式f(x)＝是r上的增函式，則實數k的取值範圍是 ．
6.已知為雙曲線的左準線與x軸的交點，
點，若滿足的點在雙曲線上，則該雙曲線
的離心率為 .
7.右圖是乙個演算法的流程圖，則輸出s的值是 .
8.若方程僅有乙個實根，那麼的取值範圍是
9. 已知關於的不等式的解集為，且中共含有個整數，則當最小時實數的值為
10.在樣本的頻率分布直方圖中, 共有9個小長方形, 若第
乙個長方形的面積為0.02, 前五個與後五個長方形的
面積分別成等差數列且公差是互為相反數,若樣本容量
為1600, 則中間一組（即第五組）的頻數為 .
11.已知變數，則的最小值為 .
12.等比數列中，，函式，則曲線
在點處的切線方程為 .
13.將乙個長寬分別是的鐵皮的四角切去相同的正方形，然後折成乙個無蓋的長方體的盒子，若這個長方體的外接球的體積存在最小值，則的取值範圍是 .
14.在平面直角座標系xoy中，拋物線y2＝2x的焦點為f. 設m是拋物線上的動點，則
的最大值為 .
二、解答題：本大題共6小題，共計90分．解答應寫出必要的文字說明步驟．
15已知集合，，
（1）當時，求；（2）若,求實數的取值範圍
16在直三稜柱中，ac=4,cb=2,aa1=2，，e、f分別是
的中點．
（1）證明：平面平面；
（2）證明：平面abe；
（3）設p是be的中點，求三稜錐的體積．
17某企業擬建造如上圖所示的容器（不計厚度，長度單位：公尺），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為立方公尺，且．假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分每平方公尺建造費用為3千元，半球形部分每平方公尺建造費用為．設該容器的建造費用為千元．
（1）寫出關於的函式表示式，並求該函式的定義域；
（2）求該容器的建造費用最小時的
18在平面直角座標系xoy中，橢圓c：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為a，b，離心率為，右準線為l：x＝4．m為橢圓上不同於a，b的一點，直線am與直線l交於點p．
（1）求橢圓c的方程；
（2）若＝，判斷點是否在以pm為直徑的圓上，並說明理由；
（3）鏈結pb並延長交橢圓c於點n，若直線mn垂直於x軸，求點m的座標．
19已知無窮數列中，a1，a2，…，am是首項為10，公差為－2的等差數列；am＋1，am＋2，…，a2m是首項為，公比為的等比數列（其中 m≥3，m∈n*），並對任意的n∈n*，均有an＋2m＝an成立．
（1）當m＝12時，求a2010；
（2）若a52＝，試求m的值；
（3）判斷是否存在m（m≥3，m∈n*），使得s128m＋3≥2010成立？若存在，試求出m的值；若不存在，請說明理由．
20已知函式（是自然對數的底）（1）若函式在點處的切線方程為，試確定函式的單調區間；（2）① 當，時，若對於任意，都有≥恆成立，求實數的最小值；② 當時，設函式，是否存在實數，使得＜？若存在，求出的取值範圍；若不存在，說明理由．
參***
1. ；2. ；3 .
；4。.；5. [，1)；6.
；7. 7500；8. 或；9.
；10. 360；11. 9；12.
；13. ；14. .
15解：（1），當時，，由數軸圖得：
（2）方程的兩根分別為，
①當時，，滿足；
②當時，，，則或，
得；③當時，，，則或
得綜上所述，實數的取值範圍是
16（1）證明：在，∵ac=2bc=4,
∴，∴，∴
由已知， ∴
又∵（2）證明：取ac的中點m，鏈結
在,而，∴直線fm//平面abe
在矩形中，e、m都是中點，∴
而，∴直線
又∵ ∴
故（或解：取ab的中點g，鏈結fg，eg，證明 eg，從而得證）
（3）取的中點，鏈結，則且，
由（1），∴，
∵p是be的中點，
∴17．解：（1）由題意可知，即，則．
容器的建造費用為，
即，定義域為．
（2），令，得．
令，得，
①當時，，當時，，函式單調遞減，∴當時有最小值；
②當時，，當時，；當時，，
∴當時有最小值．
綜上所述，當時，建造費用最小時；當時，建造費用最小時．
18解：（1）由解得所以b2＝3．
所以橢圓方程為＋＝1
（2）因為＝，所以xm＝1，代入橢圓得ym＝，即m(1，)，
所以直線am為：y＝(x＋2)，得p(4，3)，
所以＝(－1，)，＝(2，3
因為·＝≠0，所以點b不在以pm為直徑的圓上．
（3）因為mn垂直於x軸，由橢圓對稱性可設m(x1，y1)，n(x1，－y1)．
直線am的方程為：y＝(x＋2)，所以yp＝，
直線bn的方程為：y＝(x－2)，所以yp＝，所以＝．因為y1≠0，所以＝－．解得x1＝1．所以點m的座標為(1
19（1）m＝12時，數列的週期為24．
∵2010＝24×83＋18，而a18是等比數列中的項，
∴a2010＝a18＝a12＋6＝．
（2）設am＋k是第乙個週期中等比數列中的第k項，則am＋k＝．
∵，∴等比數列中至少有7項，即m≥7，則乙個週期中至少有14項．
∴a52最多是第三個週期中的項．
若a52是第乙個週期中的項，則a52＝am＋7＝．
∴m＝52－7＝45；
若a52是第二個週期中的項，則a52＝a3m＋7＝．∴3m＝45，m＝15；
若a52是第三個週期中的項，則a52＝a5m＋7＝．∴5m＝45，m＝9；
綜上，m＝45，或15，或9．
（3）2m是此數列的週期，
∴s128m＋3表示64個週期及等差數列的前3項之和．
∴s2m最大時，s128m＋3最大．
∵s2m＝
，當m＝6時，s2m＝31－＝；
當m≤5時，s2m＜；
當m≤7時，s2m＜＝29＜．
∴當m＝6時，s2m取得最大值，則s128m＋3取得最大值為64×＋24＝2007．
由此可知，不存在m（m≥3，m∈n*），使得s128m＋3≥2010成立．
20（1）由題意，
∵在點處的切線方程為，
∴，即，解得．
∴，，當，，∴在上單調遞減，在單調遞增．
（2）①由，，即，
對於任意，都有恆成立，等價於對於任意恆成立．
記，，設，∵對恆成立，∴在單調遞增．
而，∴在上有唯一零點，
∴，，，，∴在單調遞減，在上單調遞增，
∴的最大值是和中的較大的乙個，
∴即∴，∴m的最小值為．
②假設存在，使得，則問題等價於．
，∴．①當時，，在上單調遞減，
∴，即，得．
②當時，，在上單調遞增，
∴，即，得．
③當時，在上，，在上單調遞減，在上，，在上單調遞增，∴，即．（*）
由（1）知在上單調遞減，故，而，不等式（*）無解．
綜上所述，存在，使得命題成立．
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