2023年湖南省高考數學理科（理工農醫類）數學試題及答案
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.設集合，則
ab. c. d.
2.命題「若，則」的你否命題是
a.若，則 b.若，則
c.若，則 d.若，則
3.某幾何體的正檢視和側檢視均如圖1所示，則該幾何體的俯檢視是
4.設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：
cm）具有線性相關關係，根據一組樣本資料（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結論中不正確的是
與x具有正的線性相關關係
b.回歸直線過樣本點的中心（，）
c.若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg
d.若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重比為58.79kg
5. 已知雙曲線c ：-=1的焦距為10 ，點p（2,1）在c 的漸近線上，則c的方程為
a -=1 b -=1 c -=1 d -=1
6. 函式f（x）=sinx-cos(x+)的值域為
a. [ -2 ,2] bc.[-1,1 ] d.[- , ]
7. 在△abc中，ab=2,ac=3, ,則bc=
abc. d.
8.已知兩條直線l1：y=m 和 l2 ：
y=(m＞0)，l1與函式的影象從左至右相交於點a，b ，l2與函式的影象從左至右相交於c,d 記線段ac和bd在x軸上的投影長度分別為a ,b ,當m 變化時，的最小值為
a. bc. d.
二、填空題： 本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分 ，共35分，把答案填在答題卡中對應題號後的橫線上
（一）選做題（請考生在第9.10.11三題中人選兩題作答案，如果全做，則按前兩題記分 ）
9. 在直角座標系xoy 中，已知曲線c1： (t為引數)與曲線c2：
(為引數，a＞0 ) 有乙個公共點在x軸上，則a等於 .
10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集為_______.
11.如圖2，過點p的直線與圓o相交於a，b兩點.若pa=1，ab=2，po=3，則圓o的半徑等於_______.
(二)必做題（12-16題）
12.已知複數 (i為虛數單位)，則|z|=_____.
13.( - )6的二項展開式中的常數項為 。（用數字作答）
14.如果執行如圖3所示的程式框圖，輸入x=-1,n=3,則輸入的數s=
15.函式的導函式的比分影象如圖4所示，其中，p為影象與軸的交點，a,c為影象與影象與x軸的兩個交點，b為影象的最低點。
（1）若，點p的座標為（0，），則 ；abc內的概率為
（2）若在曲線段abc與x軸所圍成的區域內隨機取一點，則該點在△abc內的概率為 .
16.設n=2n（n∈n*，n≥2），將n個數x1,x2,…，xn依次放入編號為1,2，…，n的n個位置，得到排列p0=x1x2…xn.將該排列中分別位於奇數與偶數字置的數取出，並按原順序依次放入對應的前個數和後個位置，得到排列p1=x1x3…xn-1x2x4…xn，將此操作稱為c變換，將p1分成兩段，每段個數，並對每段作c變換，得到p2當2≤i≤n-2時，將pi分成2i段，每段個數，並對每段c變換，得到pi+1，例如，當n=8時，p2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位於p2中的第4個位置。
（1）當n=16時，x7位於p2中的第___個位置；
（2）當n=2n（n≥8）時，x173位於p4中的第___個位置。
三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.（本小題滿分12分）
某超市為了解顧客的購物量及結算時間等資訊，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關資料，如下表所示。
已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客佔55％。
（ⅰ）確定x，y的值，並求顧客一次購物的結算時間x的分布列與數學期望；
（ⅱ）若某顧客到達收銀台時前面恰有2位顧客需結算，且各顧客的結算相互獨立，求該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率。（注：將頻率視為概率）
18.（本小題滿分12分）
如圖5，在四稜錐p-abcd中，pa⊥平面abcd，ab=4，bc=3，ad=5，∠dab=∠abc=90°，e是cd的中點。
（ⅰ）證明：cd⊥平面pae；
（ⅱ）若直線pb與平面pae所成的角和pb與平面abcd所成的角相等，求四稜錐p-abcd的體積。
19.（本小題滿分12分）
已知數列的各項均為正數，記
(ⅰ) 若，且對任意n∈n﹡，三個數a（n），b（n），c（n）組成等差數列，求數列的通項公式；
（ⅱ）證明：數列是公比為q的等比數列的充分必要條件是：對
任意n∈n﹡，三個數a（n），b（n），c（n）組成公比為q的等比數列.
20.（本小題滿分13分）
某企業接到生產3000臺某產品的a，b，ｃ三種部件的訂單，每台產品需要這三種部件的數量分別為2,2,1（單位：件）。已知每個工人每天可生產ａ部件6件，或ｂ部件3件，或ｃ部件2件。
該企業計畫安排200名工人分成三組分別生產這三種部件，生產ｂ部件的人數與生產ａ部件的人數成正比，比例係數為k（k為正整數）。
（１）設生產ａ部件的人數為x，分別寫出完成ａ，ｂ，ｃ三種部件生產需要的時間；
（２）假設這三種部件的生產同時開工，試確定正整數k的值，使完成訂單任務的時間最短，並給出時間最短時具體的人數分組方案.
21.（本小題滿分13分）
在直角座標系xoy中，曲線c1的點均在c2：外，且對c1上任意一點m，m到直線x=﹣2的距離等於該點與圓c2上點的距離的最小值.
（ⅰ）求曲線c1的方程
（ⅱ）設p(x0,y0)（y0≠±3）為圓c2外一點，過p作圓c2的兩條切線，分別於曲線c1相交於點a，b和c，d.證明：當p在直線x=﹣4上運動時，四點a，b，c，d的縱座標之積為定值。
22.（本小題滿分13分）
已知函式，其中.
（ⅰ）若對一切x∈r，f（x）≥1恆成立，求a的取值集合；
（ⅱ）在函式f(x)的影象上取定兩點，記直線ab的斜率為k，問：是否存在，使成立？若存在，求的取值範圍；若不存在，請說明理由.
一、二、9. 10. 11. 12.10 13.-160 14.-4 15.3、
16.6、
三、17.解：（ⅰ）由已知得，所以.
該超市所有顧客一次購物的結算時間組成乙個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可是為總體的乙個容量為100的簡單隨機樣本，將頻率視為概率得
x的分布列為
x的數學期望為
（ⅱ）記a為事件「該顧客結算前的的等候時間不超過2.5分鐘」， 為該顧客前面第位顧客的計算時間，則
.由於各顧客的結算時間相互獨立，且，的分布列都與的分布列相同，所以
故該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為.
18.解法1. （ⅰ）鏈結,由，，得，又，是的中點，所以.因為，，所以.而是平面內的兩條相交直線，所以.
（ⅱ）過點作∥，分別與相交於點，鏈結.
由（ⅰ）知，,於是為直線與平面所成的角，且.
由知，為直線與平面所成的角.
由題意，因為所以.
由知，∥，又∥，所以四邊形是平行四邊形。故，於是.
在中，，所以
於是又梯形的面積為，所以四稜錐的體積為
.解法2：以為座標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間座標系，設，則相關各點的座標為：.
（ⅰ）易知
因為，所以.而是平面內的兩條相交直線，所以.
（ⅱ）由題設和（ⅰ）知，分別是平面，平面的法向量.而與平面所成的角和與平面所成的角相等，所以，即
由（ⅰ）知，又，故
.解得.
又梯形的面積為，所以四稜錐的體積為
.19.對任意，三個數是等差數列.所以
即，亦即.
故數列是首項為1，公差為4的等差數列.於是.
（ⅱ）（1）必要性：若數列是公比為的等比數列.則對任意，有.
由知，均大於0，於是，，
即，所以三個數組成公比為的等不數列.
（2）充分性：若對任意，三個數組成公比為的等比數列，則
於是，得，即
.由有，即，從而
因為，所以，故數列是首項為，公比為的等比數列.
綜上所述，故數列是公比為的等比數列的充分必要條件是：對任意，三個數組成公比為的等比數列.
20.解：（ⅰ）設完成，,b，c三種部件的生產任務需要時間（單位：天）分別為，由題設有
其中均為1到200之間的正整數.
（ⅱ）完成訂單任務的時間為，其定義域為.易知，為減函式，注意到，於是
(1)當時，，此時
.由函式的單調性知，當時取最小值，解得
.由於，而，，.故當時完成訂單任務的時間最短，且最短時間為.
（2）當時，，由於為正整數，故，此時
.記，易知是增函式，則
.由函式的單調性知，當時去最小值，解得
.由於，而，.此時完成訂單任務的最短時間大於.
（3）當時，，由於為正整數，故，此時
.由函式的單調性知，當時取最小值，解得
，類似（1）的討論，此時完成訂單任務最短的時間為，大於.
綜上所述，當時，完成訂單任務的時間最短，此時，生產a,b,c三種部件的人數分別為44,88,68.
21.解：（ⅰ）解法1,設的座標為，由已知得.
易知圓上的點位於直線的右側，於是，所以
化簡得曲線的方程為.
解法2 由題設知，曲線上的任意一點到圓心的距離等於它到直線的距離.因此，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線.故其方程為.
（ⅱ）當點在直線上運動時，的座標為，又，則過點且與圓相切的直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個焦點，切線方程為，即.於是
.整理得
設過所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程的兩個實根.故由得
設四點的縱座標分別為，則是方程的兩個實根，所以
同理可得
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