數學(理工農醫類)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知 ( )
a. b. c. d.
2.圓錐曲線 ( )
a. b. c. d.
3.設函式 ( )
a.(-1,1) b.(-1,+)
c. d.
4.函式的最大值為 ( )
a. b. c. d.2
5.已知圓的弦長為時,則a= ( )
a. b. c. d.
6.已知圓錐的底面半徑為r,高為3r,在它的所有內接圓柱中,全面積的最大值是( )
a. b. c. d.
7.已知方程的四個根組成的乙個首項為的等差數列,則
( )a.1 b. c. d.
8.已知雙曲線中心在原點且乙個焦點為m、n兩點,mn中點的橫座標為則此雙曲線的方程是 ( )
a. b.
c. d.
9.函式 ( )
a. b.
c. d.
10.已知長方形的四個項點a(0,0),b(2,0),c(2,1)和d(0,1),一質點從ab的中點p0沿與ab夾角為的方向射到bc上的點p1後,依次反射到cd、da和ab上的點p2、p3和p4(入射解等於反射角),設p4座標為(的取值範圍是 ( )
a. b. c. d.
11. ( )
a.3 b. c. d.6
12.乙個四面體的所有稜長都為,四個項點在同一球面上,則此球的表面積為 ( )
a.3 b.4 c.3 d.6
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分,把答案填在題中橫線上.
13.展開式中的係數是 .
14.使成立的的取值範圍是 .
15.如圖,乙個地區分為5個行政區域,
現給地圖著色,要求相鄰區域不得
使用同一顏色,現有4種顏色可
供選擇,則不同的著色方法共有
種.(以數字作答)
16.下列五個正方體圖形中,是正方體的一條對角線,點m、n、p分別為具所在稜的中點,能得出⊥面mnp的圖形的序號是 .(寫出所有符合要求的圖形序號)
三、解答題:本大題共6小題,共74分. 解答應寫出文字的說明,證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
已知複數z的輻角為60°,且是和的等比中項. 求.
18.(本小題滿分12分)
如圖,在直三稜柱abc—a1b1c1中,底面是等腰直角三形,∠acb=90°,側稜aa1=2,d、e分別是cc1與a1b的中點,點e在平面abd上的射影是△abd的重心g.
(ⅰ)求a1b與平面abd所成角的大小(結果用反三角函式值表示);
(ⅱ)求點a1到平面aed的距離.
19.(本小題滿分12分)
已知設p:函式在r上單調遞減.
q:不等式的解集為r,如果p和q有且僅有乙個正確,求的取值範圍.
20.(本小題滿分12分)
在某海濱城市附近海面有一颱風,據監測,當前颱風中心位於城市o(如圖)的東偏南方向300km的海面p處,並以20km/h的速度向西偏北45°方向移動. 颱風侵襲的範圍為圓形區域,當前半徑為60km,並以10km/h的速度不斷增大. 問幾小時後該城市開始受到颱風的侵襲?
21.(本小題滿分14分)
已知常數在矩形abcd中,ab=4,bc=4,o為ab的中點,點e、f、g分別在bc、cd、da上移動,且,p為ge與of的交點(如圖),問是否存在兩個定點,使p到這兩點的距離的和為定值?若存在,求出這兩點的座標及此定值;若不存在,請說明理由.
22.(本小題滿分12分,附加題4分)
(ⅰ)設中所有的數從小到大排列成的數列,
即 將數列各項按照上小下大,左小右大的原則寫成如下的三角形數表:
3 5 6
9 10 12
— — — —
(i)寫出這個三角形數表的第四行、第五行各數; (i i)求.
(ⅱ)(本小題為附加題,如果解答正確,加4分,但全卷總分不超過150分)
設中所有的數都是從小到大排列成的數列,已知
數學(理工農醫類)答案
一、選擇題
1.d 2.c 3.d 4.a 5.c 6.b 7.c 8.d 9.d 10.c 11.b 12.a
二、填空題
13. 14.(-1,0) 15.72 16.①④⑤
三、解答題:
17. 解:設,則複數由題設
18.(ⅰ)解:鏈結bg,則bg是be在abd的射影,即∠ebg是a1b與平面abd所成的角.
設f為ab中點,鏈結ef、fc,
(ⅱ)解:
19.解:函式在r上單調遞減
不等式20.解:如圖建立座標係以o為原點,正東方向為x軸正向.
在時刻:(1)颱風中心p()的座標為
此時颱風侵襲的區域是
其中若在t時刻城市o受到颱風的侵襲,則有 即
答:12小時後該城市開始受到颱風的侵襲.
21.根據題設條件,首先求出點p座標滿足的方程,據此再判斷是否存在的兩定點,使得點p到兩點距離的和為定值.
按題意有a(-2,0),b(2,0),c(2,4a),d(-2,4a)設
由此有e(2,4ak),f(2-4k,4a),g(-2,4a-4ak)直線of的方程為:①
直線ge的方程為:②
從①,②消去引數k,得點p(x,y)座標滿足方程
整理得當時,點p的軌跡為圓弧,所以不存在符合題意的兩點.
當時,點p軌跡為橢圓的一部分,點p到該橢圓焦點的距離的和為定長。
當時,點p到橢圓兩個焦點(的距離之和為定值。
當時,點p 到橢圓兩個焦點(0, 的距離之和為定值2.
22.(本小題滿分12分,附加題4分)
(ⅰ)解:(i)第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48
(i i)解:設,只須確定正整數
數列中小於的項構成的子集為
其元素個數為滿足等式的最大整數為14,所以取
因為100-
(ⅱ)解:令
因 現在求m的元素個數:
其元素個數為:
某元素個數為
某元素個數為
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1.在梯形abcd中,abc 90 ad bc,bc ad,ab 8cm,bc 18cm,cd 10cm,點p從點b開始沿bc邊向終點c以每秒3cm的速度移動,點q從點d開始沿da邊向終點a以每秒2cm的速度移動,設運動時間為t秒 1 求四邊形abpq為矩形時t的值 2 若題設中的 bc 18cm ...