2012·湖南卷(數學理科)
1．[2012·湖南卷] 設集合m＝，n＝，則m∩n＝( )
a． b．
c． d．
1．b [解析] 本題考查集合的運算，意在考查考生對集合交集的簡單運算．
解得集合n＝，直接運算得m∩n＝．
2．[2012·湖南卷] 命題「若α＝，則tanα＝1」的逆否命題是( )
a．若α≠，則tanα≠1 b．若α＝，則tanα≠1
c．若tanα≠1，則α≠ d．若tanα≠1，則α＝
2．c [解析] 本題考查命題的逆否命題，意在考查考生對命題的逆否命題的掌握，是基礎題；解題思路：根據定義，原命題：若p則q，逆否命題：若綈q則綈p，從而求解．
命題「若α＝，則tanα＝1」的逆否命題是「若tanα≠1，則α≠」，故選c.
[易錯點] 本題易錯一：對四種命題的概念不清，導致亂選；易錯二：把命題的逆否命題與命題的否定混淆．
3．[2012·湖南卷] 某幾何體的正檢視和側檢視均如圖1－1所示，則該幾何體的俯檢視不可能是( )
圖1－1圖1－2
3．d [解析] 本題考查三檢視，意在考查考生三檢視的辨析，以及對三檢視的理解和掌握．是基礎題型. 選項a，b，c，都有可能，選項d的正檢視應該有看不見的虛線，故d項是不可能的．
[易錯點] 本題由於對三檢視的不了解，易錯選c，三檢視中看不見的稜應該用虛線標出．
4．[2012·湖南卷] 設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關係，根據一組樣本資料(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為＝0.
85x－85.71，則下列結論中不正確的是( )
a．y與x具有正的線性相關關係
b．回歸直線過樣本點的中心(，)
c．若該大學某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg
d．若該大學某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg
4．d [解析] 本題考查線性回歸方程的特徵與性質，意在考查考生對線性回歸方程的了解，解題思路：a，b，c均正確，是回歸方程的性質，d項是錯誤的，線性回歸方程只能**學生的體重．選項d應改為「若該大學某女生身高為170 cm，則估計其體重大約為58.79 kg」．
[易錯點] 本題易錯一：對線性回歸方程不了解，無法得出答案；易錯二：對回歸係數b不了解，錯選c；易錯三：線性回歸方程有**的作用，得出的結果不是準確結果，誤以為d項是對的．
5．[2012·湖南卷] 已知雙曲線c：－＝1的焦距為10，點p(2,1)在c的漸近線上，則c的方程為( )
a.－＝1 b.－＝1
c.－＝1 d.－＝1
5．a [解析] 本題考查雙曲線方程和漸近線方程，意在考查考生對雙曲線方程和其性質的掌握；解題思路：首先由a，b，c的關係，排除c，d，再由漸近線方程得答案a.
由已知可得雙曲線的焦距2c＝10，a2＋b2＝52＝25，排除c，d，又由漸近線求得為y＝x＝x，得＝，解得a2＝20，b2＝5，所以選a.
[易錯點] 本題易錯一：對雙曲線的幾何性質不清，錯以為c＝10，錯選c；易錯二：漸近線求解錯誤，錯解成＝，從而錯選b.
6．[2012·湖南卷] 函式f(x)＝sinx－cos的值域為( )
a．[－2,2] b．[－，]
c．[－1,1] d.
6．b [解析] 考查三角函式化簡求值，關鍵是三角函式的化簡，三角公式的識記．
函式f(x)＝sinx－cos＝sinx－cosx＝sin，所以函式f(x)＝sinx－cos的值域為[－，]，故選b.
7．[2012·湖南卷] 在△abc中，ab＝2，ac＝3，·＝1，則bc＝( )
a. b. c．2 d.
7．a [解析] 考查向量的數量積運算和解三角形，主要是餘弦定理的運用，是此題的關鍵．
由·＝1可得2cos(180°－b)＝1，即2|bc|cosb＝－1，又由三角形的餘弦定理可得32＝2＋22－2×2cosb，把2cosb＝－1代入，解得9＝2＋4＋2，
即＝，故選a.
8．[2012·湖南卷] 已知兩條直線l1：y＝m和l2：y＝(m＞0)，l1與函式y＝|log2x|的圖象從左至右相交於點a，b，l2與函式y＝|log2x|的圖象從左至右相交於點c，d.
記線段ac和bd在x軸上的投影長度分別為a，b.當m變化時，的最小值為( )
a．16 b．8
c．8 d．4
8．b [解析] 考查函式的圖象變換均值不等式和對數方程，以及數形結合和函式與方程思想，綜合程度高，難度也較大，關鍵是轉化為關於m的代數式最值問題．
線段ac和bd在x軸上的投影長度分別為a，b，由已知可求出abcd四點的橫座標得a＝|xa－xc|＝，b＝|xb－xd|＝，
所以＝＝2m＋，
令t＝m＋＝＋－≥2－＝4－，
＝2m＋≥24－＝8，所以最小值為8.
9．[2012·湖南卷] 在直角座標系xoy中，已知曲線c1： (t為引數)與曲線c2： (θ為引數，a＞0)有乙個公共點在x軸上，則a
9. [解析] 考查直線與橢圓的引數方程，此類問題的常規解法是把引數方程轉化為普通方程求解，此題的關鍵是，得出兩曲線在x軸上的乙個公共點，即為曲線c1與x軸的交點，化難為易．
曲線c1： (t為引數)的普通方程是2x＋y－3＝0，曲線c2的普通方程是＋＝1，兩曲線在x軸上的乙個公共點，即為曲線c1與x軸的交點，代入曲線c2，得＋＝1，解得a＝.
10．[2012·湖南卷] 不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集為________．
10. [解析] 考查解含絕對值不等式，此題的關鍵是轉化為|2x＋1|>2|x－1|，再兩邊平方，輕鬆求解．
不等式轉化為|2x＋1|>2|x－1|，兩邊平方得
(2x＋1)2>4(x－1)2，化簡得4x>1，解得x>，故解集為.
11．[2012·湖南卷] 如圖1－3，過點p的直線與⊙o相交於a，b兩點．若pa＝1，ab＝2，po＝3，則⊙o的半徑等於________．
圖1－3
11. [解析] 設圓的半徑為r，由圓的割線定理可得，pa·pb＝(po－r)(po＋r)，把 pa＝1，pb＝1＋2＝3，po＝3代入求解得3＝9－r2，∴r＝.
12．[2012·湖南卷] 已知複數z＝(3＋i)2(i為虛數單位)，則|z
12．10 [解析] 複數z＝(3＋i)2化簡得，z＝8＋6i，所以|z|＝＝10.
13．[2012·湖南卷] 6的二項展開式中的常數項為用數字作答)
13．－160 [解析] 由二項式的通項公式得tr＋1＝c (2)6－rr＝(－1)r26－rcx3－r，
令3－r＝0，∴r＝3，所以常數項為t4＝(－1)326－3c＝－160.
14．[2012·湖南卷] 如果執行如圖1－4所示的程式框圖，輸入x＝－1，n＝3，則輸出的數s
圖1－4
14．－4 [解析] 考查程式框圖和數列的求和，考查考生的當型迴圈結構，關鍵是處理好迴圈次數，不要多加情況，或者少算次數．解決此型別試題，最好按迴圈依次寫出結果．
當i＝2時s＝－3，當i＝1時s＝5，當i＝0時s＝－4，當i＝－1時，不滿足條件，退出迴圈，輸出結果s＝－4.
15．[2012·湖南卷] 函式f(x)＝sin(ωx＋φ)的導函式y＝f′(x)的部分圖象如圖1－5所示，其中，p為圖象與y軸的交點，a，c為圖象與x軸的兩個交點，b為圖象的最低點．
(1)若φ＝，點p的座標為，則
(2)若在曲線段與x軸所圍成的區域內隨機取一點，則該點在△abc內的概率為________．
圖1－5
15．(1)3 (2) [解析] 考查三角函式f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象與解析式，結合導數和幾何概型，在陳題上有了不少的創新．作為填空題，第二問可在第一問的特殊情況下求解．
(1)函式f(x)＝sin(ωx＋φ)求導得，f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)，把φ＝和點代入得ωcos＝解得ω＝3.
(2)取特殊情況，在(1)的條件下，導函式f′(x)＝3cos，求得a，
b，c，故△abc的面積為s△abc＝××3＝，曲線段與x軸所圍成的區域的面積s＝－＝－sin＋sin＝2，所以該點在△abc內的概率為p＝＝.
16．m1[2012·湖南卷] 設n＝2n(n∈n*，n≥2)，將n個數x1，x2，…，xn依次放入編號為1,2，…，n的n個位置，得到排列p0＝x1x2…xn.將該排列中分別位於奇數與偶數字置的數取出，並按原順序依次放入對應的前和後個位置，得到排列p1＝x1x3…xn－1x2x4…xn，將此操作稱為c變換．將p1分成兩段，每段個數，並對每段作c變換，得到p2；當2≤i≤n－2時，將pi分成2i段，每段個數，並對每段作c變換，得到pi＋1.例如，當n＝8時，p2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位於p2中的第4個位置．
(1)當n＝16時，x7位於p2中的第________個位置；
(2)當n＝2n(n≥8)時，x173位於p4中的第________個位置．
16．(1)6 (2) 3×2n－4＋11 [解析] 考查合情推理，以新定義題型為載體，依據排列，考查考生的邏輯推理能力，要求學生的想象能力相當出色．
(1)由已知可得p1＝x1x3x5x7x9x11x13x15…，p2＝x1x5x9x13x3x7x11x15…，故x7位於p2中的第6個位置；
(2)當i＝1時，p1的排列中x173的位置是＝87位；
當i＝2時，p2的排列中x173的位置是＝44位；
當i＝3時，p3的排列中x173的位置是＋＝2n－3＋22位；
當i＝4時，p4的排列中x173的位置是2n－3＋＝2n－3＋2n－4＋11＝3×2n－4＋11位．
17．k5、k6[2012·湖南卷] 某超市為了解顧客的購物量及結算時間等資訊，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關資料，如下表所示．
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