第六章數列
一、選擇題
1. 【2014全國2，文5】等差數列的公差是2，若成等比數列，則的前項和（ ）
ab. cd.
【答案】a
【解析】由已知得，，又因為是公差為2的等差數列，故，，解得，所以，故．
2. 【2013課標全國ⅰ，文6】設首項為1，公比為的等比數列的前n項和為sn，則( )．
a．sn＝2an－1 b．sn＝3an－2 c．sn＝4－3an d．sn＝3－2an
【答案】：d【解析】：＝3－2an，故選d.
3. 【2015高考新課標1，文7】已知是公差為1的等差數列，為的前項和，若，則a） （b） （c） （d）
【答案】b
【考點定位】等差數列通項公式及前n項和公式
4. 【2014高考重慶文第2題】在等差數列中,，則（ ）
【答案】b【解析】試題分析：設等差數列的公差為，由題設知，，所以，
所以，.故選b. 考點：等差數列通項公式.
5. 【2013，安徽文7】設為等差數列的前項和，，則
（abcd）2
【答案】a．【解析】，故選a． 【考點】等差數列通項公式和前n項公式．
6. 【2014天津，文5】設是首項為，公差為的等差數列，為其前n項和，若成等比數列，則a.2 b.-2cd .
【答案】d 【解析】試題分析：因為成等比數列，所以即選d. 考點：等比數列
二、填空題
1．【2013高考北京文第11題】若等比數列滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q前n項和sn
【答案】2 2n＋1－2 【解析】試題分析：根據等比數列的性質知a3＋a5＝q(a2＋a4)，
∴q＝2，又a2＋a4＝a1q＋a1q3，故求得a1＝2，∴sn＝＝2n＋1－2.
2. 【2013高考廣東卷.文.11】設數列是首項為1,公比為－2的等比數列,
則a1＋|a2|＋a3＋|a4
【答案】15【解析】由數列首項為1,公比q＝－2,則an＝(－2)n－1,a1＝1,a2＝－2,a3＝4,a4＝－8,則a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15.故填. 【考點定位】本題考查數列中的等比數列,屬於基礎題
3. 【2015高考廣東，文13】若三個正數，，成等比數列，其中，，則 ．
【答案】 【解析】因為三個正數，，成等比數列，所以，因為，所以，所以答案應填：． 【考點定位】等比中項．
4. 【2014高考廣東卷.文.13】等比數列的各項均為正數,且,
則 .
【答案】.
【考點定位】本題考查等比數列的基本性質與對數的基本運算,屬於中等偏難題.
5. 【2015高考陝西，文13】中位數為1010的一組數構成等差數列，其末項為2015，則該數列的首項為________
【答案】5【解析】若這組數有個，則，，又，所以；
若這組數有個，則，，又，所以；
故答案為5 【考點定位】等差數列的性質.
6. 【2014全國2，文16】數列滿足，則________．
【答案】．【解析】由已知得，，，所以，，，，，，．
7. 【2015高考新課標1，文13】數列中為的前n項和，若，則 .
【答案】6
考點：等比數列定義與前n項和公式
8. 【2015高考浙江，文10】已知是等差數列，公差不為零．若，，成等比數列，且，則
【答案】 【解析】由題可得，，故有，又因為，即，所以. 【考點定位】1.等差數列的定義和通項公式；2.等比中項.
9. 【2013高考重慶文第12題】若2，a，b，c,9成等差數列，則c－a
答案： 考點：等差數列.
10. 【2015高考安徽，文13】已知數列中，，（），則數列的前9項
和等於【答案】27
【考點定位】本題主要考查等差數列的定義、通項公式和前n項和公式的應用.
11. 【2013上海,文2】在等差數列中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，則a2＋a3＝______.
【答案】15 【解析】a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝30a2＋a3＝15.
三、解答題
1. 【2014高考北京文第15題】(本小題共13分) 已知是等差數列，滿足，，數列滿足，，且是等比數列.
（1）求數列和的通項公式； （2）求數列的前項和.
【答案】（1），；（2）
(2)由（1）知，，
數列的前n項和為，數列的前n項和為，
所以數列的前n項和為.
考點：本小題主要考查等差數列、等比數列、數列求和等基礎知識，考查同學們的運算求解能力，考查分析問題與解決問題的能力，考查函式與方程思想、化歸與轉化思想．數列是高考的熱點問題之一，熟練基礎知識是解答好本類題目的關鍵.
2. 【2015高考北京，文16】（本小題滿分13分）已知等差數列滿足，．
（i）求的通項公式；
（ii）設等比數列滿足，，問：與數列的第幾項相等？
【答案】（i）；（ii）與數列的第項相等.
【解析】試題分析：本題主要考查等差數列、等比數列的通項公式等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.（i）利用等差數列的通項公式，將轉化成和，解方程得到和的值，直接寫出等差數列的通項公式即可；（ii）先利用第一問的結論得到和的值，再利用等比數列的通項公式，將和轉化為和，解出和的值，得到的值，再代入到上一問等差數列的通項公式中，解出的值，即項數.
試題解析：（ⅰ）設等差數列的公差為.
因為，所以.
又因為，所以，故.
所以 .
考點：等差數列、等比數列的通項公式.
3. 【2015高考廣東，文19】（本小題滿分14分）設數列的前項和為，．已知，，，且當時，．
（1）求的值； （2）證明：為等比數列； （3）求數列的通項公式．
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．
（2）因為（），所以（），即
（），因為，所以，因為
，所以數列是以
為首項，公比為的等比數列
（3）由（2）知：數列是以為首項，公比為的等比數列，所以
考點：1、等比數列的定義；2、等比數列的通項公式；3、等差數列的通項公式.
4. 【2014高考廣東卷.文.19】(本小題滿分14分)設各項均為正數的數列的前項和為,且滿足,.
(1)求的值2)求數列的通項公式；
【答案】(1)；(2)；(3)詳見解析.
【解析】(1)令得：,即,,
,,即；
(2)由,得,
,,從而,,
所以當時,,
又,；【考點定位】本題以二次方程的形式以及與的關係考查數列通項的求解,以及利用放縮法證明數列不等式的綜合問題,考查學生的計算能力與邏輯推理能力,屬於中等偏難題.
5. 【2013高考廣東卷.文.19】(本小題滿分14分)設各項均為正數的數列的前n項和為sn,滿足4sn＝an＋12－4n－1,n∈n*,且a2,a5,a14構成等比數列.
(1)證明：； (2)求數列的通項公式；
(3)證明：對一切正整數n,有.
【答案】(1)詳見解析 (2) (3)詳見解析
(3)證明：＝＝
＝.【考點定位】本題考查數列中的等差數列和裂項求和,屬於拔高題
6．【 2014湖南文16】已知數列的前項和.
(1)求數列的通項公式； (2)設，求數列的前項和.
【答案】(1) (2)
【解析】試題分析:(1)題目已知之間的關係,令,利用,即可求的的值,令,利用與前n項和之間的關係即可得到,令檢驗首項即可得到的通項公式.
(2)把(1)得到的通項公式代入可以得到是由等比數列,數列之和,才用分組求和法,首先利用等比數列前n項和公式求的等比數列的前n項和,再利用
對數列進行分組
即可求的數列的前n項和
【考點定位】數列前項和等差數列等比數列分組求和法
7. 【2013湖南，文19】設sn為數列的前n項和，已知a1≠0,2an－a1＝s1·sn，n∈n*.
(1)求a1，a2，並求數列的通項公式； (2)求數列的前n項和．
【解析】(1)令n＝1，得2a1－a1＝a12，即a1＝a12.
因為a1≠0，所以a1＝1.
令n＝2，得2a2－1＝s2＝1＋a2.
解得a2＝2.
當n≥2時，由2an－1＝sn,2an－1－1＝sn－1兩式相減得2an－2an－1＝an.
即an＝2an－1.
於是數列是首項為1，公比為2的等比數列．
因此，an＝2n－1.
所以數列的通項公式為an＝2n－1.
9. 【2014山東.文19】 （本小題滿分12分）
在等差數列中，已知公差，是與的等比中項.
（1）求數列的通項公式；
【答案】（1）.
10. 【2013山東，文20】(本小題滿分12分)設等差數列的前n項和為sn，且s4＝4s2，a2n＝2an＋1.
(1)求數列的通項公式；
【答案】(1) an＝2n－1，n∈n*. (2) tn＝.
【解析】解：(1)設等差數列的首項為a1，公差為d，
由s4＝4s2，a2n＝2an＋1得：
解得a1＝1，d＝2.
因此an＝2n－1，n∈n*.
11. 【2015高考山東，文19】已知數列是首項為正數的等差數列，數列的前項和為
.（i）求數列的通項公式； （ii）設，求數列的前項和.
【答案】（i） (ii)
【考點定位】1.等差數列的通項公式；2.數列的求和、「錯位相減法」.
12. 【2013高考陝西版文第17題】設sn表示數列的前n項和．
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