2013·新課標全國卷ⅰ(文科數學)
1． 已知集合a＝，b＝，則a∩b＝( )
a． b．
c． d．
1．a [解析] 集合b＝，所以a∩b＝．
2．＝( )
a．－1－i b．－1＋i
c．1＋i d．1－i
2．b [解析]＝＝－1＋i.
3． 從1，2，3，4中任取2個不同的數，則取出的2個數之差的絕對值為2的概率是( )
a. b. c. d.
3．b [解析] 基本事件是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6個，其中兩數之差的絕對值為2的基本事件是(1，3)，(2，4)，共2個，根據古典概型公式得所求的概率是＝.
4． 已知雙曲線c：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則c的漸近線方程為( )
a．y＝±x b．y＝±x
c．y＝±x d．y＝±x
4．c [解析]＝＝，所以＝，故所求的雙曲線漸近線方程是y＝±x.
5． 已知命題p： x∈，2x＜3x；命題q： x∈，x3＝1－x2，則下列命題中為真命題的是( )
a．p∧q b．p∧q c．p∧q d．p∧q
5．b [解析] 命題p假、命題q真，所以p∧q為真命題．
6． 設首項為1，公比為的等比數列的前n項和為sn，則( )
a．sn＝2an－1 b．sn＝3an－2
c．sn＝4－3an d．sn＝3－2an
6．d [解析] an＝，sn＝＝3(1－an)＝3－2an.
圖1－1
7． 如圖1－1所示的程式框圖，如果輸入的t∈[－1，3]，則輸出的s屬於( )
a．[－3，4]
b．[－5，2]
c．[－4，3]
d．[－2，5]
7．a [解析] 當－1≤t<1時，輸出的s＝3t∈[－3，3)；當1≤t≤3時，輸出的s＝4t－t2∈[3，4]．故輸出的s∈[－3，4]．
8． o為座標原點，f為拋物線c：y2＝4 x的焦點，p為c上一點，若|pf|＝4，則△pof的面積為( )
a．2 b．2 c．2 d．4
8．c [解析] 設p(x0，y0)，根據拋物線定義得|pf|＝x0＋，所以x0＝3，代入拋物線方程得y2＝24，解得|y|＝2，所以△pof的面積等於·|of|·|y|＝××2＝2.
9． 函式f(x)＝(1－cos x)·sin x在[－π，π]的影象大致為( )
圖1－2
9．c [解析] 函式f(x)是奇函式，排除選項b.當x∈[0，π]時f(x)≥0，排除選項a.對函式f(x)求導，
得f′(x)＝sin xsin x＋(1－cos x)cos x＝－2cos2 x＋cos x＋1＝－(cos x－1)(2cos x＋1)，當00，若10． 已知銳角△abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，23cos2 a＋cos 2a＝0，a＝7，c＝6，則b＝( )
a．10 b．9 c．8 d．5
10．d [解析] 由23cos 2a＋cos 2a＝0，得25cos 2a＝1.因為△abc為銳角三角形，所以cos a＝.在△abc中，根據餘弦定理，得49＝b2＋36－12b×，即b2－b－13＝0，解得b＝5或－(捨去)．
11． 某幾何體的三檢視如圖1－3所示，則該幾何體的體積為( )
圖1－3
a．16＋8π b．8＋8π
c．16＋16π d．8＋16π
11．a [解析] 該空間幾何體的下半部分是乙個底面半徑為2，母線長為4的半圓柱，上半部分是乙個底面邊長為2、高為4的正四稜柱．這個空間幾何體的體積是×π×4×4＋2×2×4＝16＋8π.
12．、、 已知函式f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值範圍是( )
a．(－∞，0] b．(－∞，1]
c．[－2，1] d．[－2，0]
12．d [解析] 函式y＝|f(x)|＝在同一座標系中畫出y＝|f(x)|，y＝ax的影象如圖所示，問題等價於直線y＝ax不在函式y＝|f(x)|影象的上方，顯然a>0時，y＝ln (x＋1)的影象不可能恆在直線y＝ax的上方，故a≤0；由於直線y＝ax與曲線y＝x2－2x均過座標原點，所以滿足條件的直線y＝ax的極端位置是曲線y＝x2－2x在點(0，0)處的切線，y′＝2x－2，當x＝0時y′＝－2.所以－2≤a≤0.
13． 已知兩個單位向量，的夾角為60°，＝t＋(1－t)，若·＝0，則t
13．2 [解析] ·＝·[t＋(1－t)]＝t·＋(1－t)2＝t＋(1－t)＝1－t＝0，即t＝2.
14． 設x，y滿足約束條件則z＝2x－y的最大值為________．
14．3 [解析] 點(x，y)是平面內平行線x＝1，x＝3與平行線x－y＝－1，x－y＝0圍成的平行四邊形區域，區域的四個頂點座標分別為(1，2)，(1，1)，(3，4)，(3，3)，分別代入得z＝0，1，2，3，所以z＝2x－y的最大值為3.
15． 已知h是球o的直徑ab上一點，ah∶hb＝1∶2，ab⊥平面α，h為垂足，α截球o所得截面的面積為π，則球o的表面積為________．
15. [解析] 截面為圓，由已知得該圓的半徑為1.設球的半徑為r，則ah＝r，所以oh＝r，所以(r)2＋12＝r2，r2＝，所以球的表面積是4πr2＝.
16．、、 設當x＝θ時，函式f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，則cos
16．－ [解析] f(x)＝sin x－2cos x＝
，令cos α＝，sin α＝，
則f(x)＝sin(x－α)．當θ－α＝2kπ＋，
即θ＝2kπ＋＋α(上述k為整數)時，
f(x)取得最大值，此時 cos θ＝－sin α＝－.
17．、 已知等差數列的前n項和sn滿足s3＝0，s5＝－5.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
17．解：(1)設的公差為d，則sn＝na1＋d.
由已知可得解得a1＝1，d＝－1.
故的通項公式為an＝2－n.
(2)由(1)知＝＝，
數列的前n項和為＝.
18．、 為了比較兩種**失眠症的藥(分別稱為a藥，b藥)的療效，隨機地選取20位患者服用a藥，20位患者服用b藥，這40位患者在服用一段時間後，記錄他們日平均增加的睡眠時間(單位：h)．試驗的觀測結果如下：
服用a藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用b藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：
3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分別計算兩組資料的平均數，從計算結果看，哪種藥的療效更好？
(2)根據兩組資料完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？
圖1－4
18．解：(1)設a藥觀測資料的平均數為x，b藥觀測資料的平均數為y.
由觀測結果可得
x＝(0.6＋1.2＋1.
2＋1.5＋1.5＋1.
8＋2.2＋2.3＋2.
3＋2.4＋2.5＋2.
6＋2.7＋2.7＋2.
8＋2.9＋3.0＋3.
1＋3.2＋3.5)＝2.
3，y＝(0.5＋0.5＋0.
6＋0.8＋0.9＋1.
1＋1.2＋1.2＋1.
3＋1.4＋1.6＋1.
7＋1.8＋1.9＋2.
1＋2.4＋2.5＋2.
6＋2.7＋3.2)＝1.
6.由以上計算結果可得x>y, 因此可看出a藥的療效更好．
(2)由觀測結果可繪製如下莖葉圖：
從以上莖葉圖可以看出，a藥療效的試驗結果有的葉集中在莖2，3上，而b藥療效的試驗結果有的葉集中在莖0，1上，由此可看出a藥的療效更好．
19． 如圖1－5所示，三稜柱abc－a1b1c1中，ca＝cb，ab＝aa1，∠baa1＝60°.
(1)證明：ab⊥a1c；
(2)若ab＝cb＝2，a1c＝，求三稜柱abc－a1b1c1的體積．
圖1－5
19．解：(1)取ab的中點o，聯結oc，oa1，a1b，
因為ca＝cb，所以oc⊥ab.
由於ab＝aa1，∠baa1＝60°，故△aa1b為等邊三角形，所以oa1⊥ab.
因為oc∩oa1＝o，所以ab⊥平面oa1c.
又a1c 平面oa1c，故ab⊥a1c.
(2)由題設知△abc與△aa1b都是邊長為2的等邊三角形，所以oc＝oa1＝.
又a1c＝，則a1c2＝oc2＋oa，故oa1⊥oc.
因為oc∩ab＝o，所以oa1⊥平面abc，oa1為三稜柱abc－a1b1c1的高．
又△abc的面積s△abc＝，故三稜柱abc－a1b1c1的體積v＝s△abc·oa1＝3.
20．、 已知函式f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)討論f(x)的單調性，並求f(x)的極大值．
20．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
從而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x.
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
從而當x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)時，f′(x)>0；當x∈(－2，－ln 2)時，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上單調遞增，在(－2，－ln 2)上單調遞減．
當x＝－2時，函式f(x)取得極大值，極大值為f(－2)＝4(1－e－2)．
21．、、 已知圓m：(x＋1)2＋y2＝1，圓n：(x－1)2＋y2＝9，動圓p與圓m外切並且與圓n內切，圓心p的軌跡為曲線c.
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