2023年上學期展輝學校高二3月份月考文科數學試卷
一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，
只有一項是符合題目要求的)
1．(2010廣東卷文2) 函式的定義域是（ ）
a．(2b．(1c．[1，) d．[2，)
【解析】∵，得，∴選b.
2．【2012高考山東文5】設命題p：函式的最小正週期為；
命題q：函式的圖象關於直線對稱.則下列判斷正確的是（ ）
a．p為真 b.為假 c.為假 d.為真
【解析】函式的週期為，所以命題為假；函式
的對稱軸為,所以命題為假，所以為假，選c.
3．(2010湖南卷文4) 極座標方程和引數方程（為引數）
所表示的圖形分別是（ ）
a．直線、直線 b．直線、圓 c．圓、圓d．圓、直線
【解析】由極座標方程可得表示的是圓；
由引數方程推得直線，故選d．
4．已知回歸直線的斜率的估計值是1.23，樣本點的中心為(4，5)，則回歸直線的方程是（ ）
a． =1.23x＋4 b． =1.23x+5 c． =1.23x+0.08 d． =0.08x+1.23
【解析】∵回歸直線過樣本中心點(4，5)，檢驗知選c.
5．已知，，點為線段的中點，則=（ ）
a. （1，2） b. （1，－2） c. （0，3） d. （0，－3）
【解析】 ∵由中點公式得，∴選c.
6．【2012高考陝西文12】執行如圖所示的程式框圖，則輸出的s的值是（ ）
a. 4b. cd. 1
【解析】根據程式框圖可計算得
故選d．
7．已知數列中，, ,，則=（ ）
a. 0b. 1c. 2d. 1
【解析】由遞推式得，兩式相加得，
再進行遞推得，故數列是週期為6的數列，
所以∴∴選a.
8．設函式，則的單調減區間為（ ）
a. b. cd.
【解析】令，得；令，得，
故函式的單調減區間為(-5,0). 選b.
二、填空題(本大題共7小題，每小題5分，共35分．)
9．設複數，若為實數，則為
【解析】，∴.
10．(2023年高考福建卷)若雙曲線－＝1(b＞0)的漸近線方程為y＝±x，則b等於______
【解析】雙曲線－＝1的漸近線方程為－＝0，即y＝±x(b＞0), ∴b＝1.
11．函式的零點的個數是
【解析】對於，因此函式在r上單調遞增，
而對於，因此其零點的個數為1個.
12．【2012高考安徽文12】某幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的體積等於______．
【解析】該幾何體是底面是直角梯形，高為的直四稜柱,
該幾何體的體積是.
13．已知點a(3,5)，試在y軸及直線上分別找點b，c，
使△abc的周長最短，則其周長的最小值為
【解析】作點a(3,5)關於y軸的對稱點m(-3,5)，點a關於直線的對稱點n(6,2)，
連線mn交y軸及直線分別於點b，c即為所求， .
14．【2012高考上海文10】滿足約束條件的目標函式的最小值是
【解析】作出約束條件表示的平面區域可知，
當，時，目標函式取
最小值為－2.
15．（2023年北京文14）定義「等和數列」：在乙個數列中，如果每一項與它的後一項
的和都為同乙個常數，那麼這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和.
已知數列是等和數列，且，公和為5，那麼的值為 ，
且這個數列的前21項和的值為
【解析】由等和數列的定義，易知，（=1，2，…），故;
當為偶數時,；當為奇數時,，∴ =52.
三、解答題(本大題共6小題,共75分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
16．（12分）(2009上海卷文) 已知δabc的角a、b、c所對的邊分別是a、b、c，
設向量，，．
（1） 若//，求證：δabc為等腰三角形；
（2） 若⊥，邊長c = 2，角c =，求δabc的面積．
解：（1）∵∥，∴．即，
其中r是三角形abc外接圓半徑，∴，
故為等腰三角形．
（2）由題意可知＝0，即，．
由餘弦定理可知，．
即，，（捨去）．
．17．（12分）【2012高考天津文15】
某地區有小學21所，中學14所，大學7所，現採用分層抽樣的方法
從這些學校中抽取6所學校對學生進行視力調查。
（ⅰ）求應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數目；
（ⅱ）若從抽取的6所學校中隨機抽取2所學校做進一步資料分析，
（1）列出所有可能的抽取結果；
（2）求抽取的2所學校均為小學的概率。
【解析】(1)從小學中學大學中分別抽取的學校數目為3,2,1.
(2)①在抽取到的6所學校中，3所小學分別記為a1，a2，a3,
2所中學分別記為a4，a5，大學記為a6，
則抽取2所學校的所有可能結果為，，，
，，，，，，
，，，，，，共15種．
②從6所學校中抽取的2所學校均為小學(記為事件b)的所有可能結果為
，，，共3種．
所以p(b)＝＝.
答：…18．（12分）(2011上海文20) 已知是底面邊長為1的正四稜柱，
高．求：
⑴ 異面直線與所成的角的余弦值；
⑵ 四面體的體積．
解：⑴ 連，∵ ，
∴ 異面直線與所成角為，記，
在δ中，由餘弦定理得：，
∴異面直線與所成角的余弦值為．
⑵ 連，則所求四面體的體積
．19．（13分）已知p(x，y)為平面上的動點且x≥0，若p到y軸的距離比到點(1,0)的距離小1.
(1)求點p的軌跡c的方程；
(2)設過點m(m,0)的直線交曲線c於a、b兩點，問是否存在這樣的實數m，
使得以線段ab為直徑的圓恆過原點．
解：(1)由題意得：－x＝1，化簡得：y2＝4x，(x≥0)．
或由定義也易得此方程．∴點p的軌跡方程為y2＝4x(x≥0)．
(2) 當k不存在時，設直線ab為x=m，則，，
由= m2－4m＝0，得m＝0（？）或4；
當k存在時，設直線ab為y＝k(x－m)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，
由，得ky2－4y－4km＝0，
∴y1＋y2＝，y1·y2＝－4m．∴x1·x2＝=m2，
∵以線段ab為直徑的圓恆過原點，
∴oa⊥ob，∴x1·x2＋y1·y2＝0.即m2－4m＝0m＝0或4.
∴存在m＝0或4，使得以線段ab為直徑的圓恆過原點．
20．（13分）【2012高考重慶文16】
已知為等差數列，且（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）記的前項和為，若成等比數列，求正整數的值。
【解析】（ⅰ）設數列的公差為d,由題意知，解得，
所以；（ⅱ）由（ⅰ）可得。
因成等比數列，所以，
從而，即，
解得或（捨去），因此.
21．（13分）設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2，畫面的寬與高之比為，畫面的上、下各留8cm的空白，左、右各留5cm的空白，怎樣確定畫面的寬與高的尺寸，能使宣傳畫所用紙張面積最小？如果要求，那麼為何值時，宣傳畫面積最小？
解：設畫面高為，寬為，則，∴，
∴紙張的高為，寬為，
∴紙張的面積
cm2，
（當僅且當，即時，取「=」）.
故當畫面高為88cm，寬為55cm時，紙張面積最小，此時最小面積為6760cm2.
當時，令,則，
顯然當最小時，最小，
∵，∴為增函式，
∴（即）時，最小，也最小，
∴時，宣傳畫面積最小.答：…
3月月考文科數學
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高二文科3月月考考題
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烈面中學高二12月月考數學文科試題
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