一、單選題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，
只有一項是符合題目要求的．
1．複數（ ）
a. b. c. d.
解：由題意得，故選a．
2．已知，，則（ ）
abcd.
解：∵，，
∴，故選c.
3．下表是我國某城市在2023年1月份至10月份各月最低溫與最高溫的資料一覽表.
已知該城市的各月最低溫與最高溫具有相關關係，根據該一覽表，則下列結論錯誤的是（ ）
a. 最低溫與最高溫為正相關
b. 每月最高溫與最低溫的平均值在前8個月逐月增加
c. 月溫差（最高溫減最低溫）的最大值出現在1月
d. 1月至4月的月溫差（最高溫減最低溫）相對於7月至10月，波動性更大
解：將最高溫度、最低溫度、溫差列表如圖，由**前兩行可知最低溫大致隨最高溫增大而增大，正確；由**可知每月最高溫與最低溫的平均值在前個月不是逐月增加，錯；
由**可知，月溫差（最高溫減最低溫）的最大值出現在月，正確；
由**可知月至月的月溫差（最高溫減最低溫）相對於月至月，
波動性更大，正確，故選b.
4．已知等差數列的前項和為，公差，，且，則（ ）
abcd.
解：．又，
，，故選a.
5．已知點在雙曲線：（，）上，，分別為雙曲線的左、
右頂點，離心率為，若為等腰三角形，其頂角為，則（ ）
abcd.
解：不妨設點在第一象限，因為為等腰三角形，其頂角為，則的座標為
，代入雙曲線的方程得，故選d.
6．設，滿足約束條件，則的取值範圍是（ ）
abcd.
解：可行域為如圖所示的內部（包括邊界），
表示經過原點與可行域的點連線的斜率，
易求得，
從而，故選a.
7．某幾何體的三檢視如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1，則該幾何體的表面積為（ ）
a. b. c. d.
解：由三檢視可知，該幾何體為放在正方體的四稜錐，如圖，正方體的邊長為2，
該三稜錐底面為正方形，兩個側面為等腰三角形，面積分別為，另兩個側面為
直角三角形面積都為，可得這個幾何體的表面積為，故選c.
8．將曲線：上各點的橫座標縮短到原來的倍，縱座標不變，再把得到
的曲線向左平移個單位長度，得到曲線：，則在
上的單調遞增區間是（ ）
a. b. cd.
解：將曲線：上各點的橫座標縮短到原來的倍，縱座標不變，
再把得到的曲線向左平移個單位長度可得，
令，得，再令，
得，則在上的單調遞增區間是，故選b.
9．如圖，是正方體的稜上的一點（不與端點重合），
平面，則（ ）
a. b. cd.
解：設，如圖，平面，平面平面，
為的中點，為的中點，正確，由異面直線的定義
知是異面直線，故錯；在矩形中，與不垂直，故錯；
顯然是錯，故選d.
10．執行如圖所示的程式框圖，若輸入的，則輸出的（ ）
abcd.
解：依次執行程式框圖可得：
第一次：1不是質數，；
第二次：4不是質數，；
第三次：7是質數，；
第四次：10不是質數，；
第五次：13不是質數，，則輸出16，故選d．
11．函式的部分圖象大致是（ ）
a. b. c. d.
解：為奇函式，圖象關於原點對稱，排除；
當時，，排除；當時，
，排除；故選d.
12．已知函式，若有且只有兩個整數，
使得，且，則的取值範圍是（ ）
ab. cd.
解：由題意可知，即， ，設，
由，可知，
在上為減函式，在上為增函式，
的圖象恆過點，在同一座標系中作出的圖象如下：
若有且只有兩個整數，使得，且，則
，即，解得，故選c．
二、填空題：每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上．
13．設平面向量與向量互相垂直，且，若，則
解：由平面向量與向量互相垂直可得所以．
又．14．已知各項均為正數的等比數列的公比為，，，則________.
解：很明顯數列的公比為正數，由題意可得：，故，
則：，整理可得，結合可得．
15．若，，則
解：，∴．又，故，
且，從而．
16．已知拋物線：的焦點為，，是拋物線上的兩個動點，
若，則的最大值為
解：由已知，得．∵
，則的最大值為．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．在中，內角，，的對邊分別為，，，
已知，．
（1）求大小；
（2）求的值．
解：（1）因為，因為，
所以，所以，即；
（2）由餘弦定理得．
又，所以，即．
消去得，方程兩邊同除以得，則．
18．唐三彩，中國古代陶瓷燒製工藝的珍品，它吸取了中國國畫、雕塑等工藝美術的特點，
在中國文化中占有重要的歷史地位，在中國的陶瓷史上留下了濃墨重彩的一筆．唐三彩
的生產至今已有1300多年的歷史，對唐三彩的複製和仿製工藝，至今也有百餘年的歷史．
某陶瓷廠在生產過程中，對仿製的100件工藝品測得其重量（單位：）資料，
將資料分組如表：
（1）在答題卡上完成頻率分布表；
（2）以表中的頻率作為概率，估計重量落在中的概率及重量小於2.45的概率是多少？
（3）統計方法中，同一組資料常用該組區間的中點值（例如區間的中點值是2.25）
作為代表．據此，估計這100個資料的平均值．
解：（1）
（2）重量落在中的概率約為，
或，重量小於2.45的概率約為．
（3）這100個資料的平均值約為
．19．如圖，四邊形是矩形，，，，平面，．
（1）證明：平面平面；
（2）設與相交於點，點在稜上，且，求三稜錐的體積．
解：（1）證明：因為四邊形是矩形，，，，
所以，．又，
所以∽，．
因為，所以，
又平面，所以，而，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）解：因為，，所以．又，，
所以為稜的中點，到平面的距離等於．
由（1）知∽，所以，
所以，所以．
20．已知雙曲線的焦點是橢圓：（）的頂點，
為橢圓的左焦點且橢圓經過點．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右頂點作斜率為（）的直線交橢圓於另一點，鏈結
並延長交橢圓於點，當的面積取得最大值時，求的面積．
解：（1）由已知得，所以的方程為．
（2）由已知結合（1），得，，
所以設直線：，聯立：，
得，得，
（），當且僅當，即時，的面積取得最大值，
所以，此時，
所以直線：，聯立，解得，
所以，點到直線：的距離為，
所以．21．函式．
（1）若曲線在處的切線與軸垂直，求的最大值；
（2）若對任意的，都有，求的取值．
解：（1）由，得．
令，則，
可知函式在上單調遞增，在上單調遞減，
所以；（2）由題意可知函式
在上單調遞減，從而在上恆成立．
令，則．
當時，，所以函式在上單調遞減，
則；當時，，得，所以函式在上
單調遞增，在上單調遞減，
則，即，
通過求函式的導數可知它在上單調遞增，故．
綜上，實數的取值範圍是．
22．在平面直角座標系中，曲線的引數方程為（為引數），
曲線的引數方程為（為引數）．
（1）將，的方程化為普通方程，並說明它們分別表示什麼曲線？
（2）以座標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極座標系，已知直線的
極座標方程為．若上的點對應的引數為，
點在上，點為的中點，求點到直線距離的最小值．
解：（1）的普通方程為，它表示以為圓心，1為半徑的圓；
的普通方程為，它表示中心在原點，焦點在軸上的橢圓．
（2）由已知得，設，則，
直線：．
點到直線的距離，
所以，即到的距離的最小值為．
23．已知．
（1）證明：；
（2）若，求實數的取值範圍．
解：（1）證明：因為，
而，所以；
（2）因為，
所以或，
解得，所以的取值範圍是．
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