複數複習學案
一． 知識結構
二． 重點、難點、熱點剖析
由於複數在整個高中數學所處的地位的改變，今後高考時複數不會有太多太高的要求，試題數量穩定在一道試題，難度不會太大，複數的概念及複數的運算是複數應用的基礎，是高考考查的重點，複數的運算是複數的中心內容，是高考命題的熱點。而複數的乘、除更是考查的重點，主要考查基本運算能力，另外複數的有關概念眾多，涉及知識面廣，易與三角、幾何、向量知識、不等式等結合起來考查。
三． 技巧方法
1、 設z＝a＋bi(a,b),利用複數相等轉化為實數問題是解決複數問題常用的方法，同時要學會以整體的角度出發去分析和求解，如果遇到複數就設z＝a＋bi(a,b),有時帶來不必要的運算上的困難，若能把握住複數的整體性質，充分運用整體思想求解，則能事半功倍。
2、 在簡化運算中，如能合理運用i和複數的模等有關的性質，常能出奇制勝，事半功倍，所以在學習中注意積累並靈活運用。
3、 性質：是複數運算與實數運算相互轉化的重要依據，也是把複數看作整體進行運算的主要依據，在解題中加以認識並逐漸領會。
4、 學習本章時，應注意聯絡全面學過的實數的性質，實數的運算內容，以便對複數的知識有較完整的認識。
四、 注意點析
1、 要注意實數、虛數。純虛數、複數之間的聯絡與區別，實數集和虛數集都是複數集的真子集，它們的並集是複數集，它們的交集是空集，純虛數集是虛數集的真子集，
2、 當概念擴充套件到複數後，實數集r中的一些運算性質、概念、關係就不一定適用了，如不等式的性質、絕對值的定義、偶次方非負等。
3、 熟練掌握複數乘法、除法的運算法則，特別是除法法則，更為重要，是考試的重點。
五、 思想方法
1、 數形結合這是本章的主要數學思想，例如複數本身的幾何意義及四則運算的幾何意義等。圖形要畫得合乎題意，充分利用圖形的直觀性，簡捷巧妙的解題。
2、 方程的思想，主要體現在複數相等的充要條件和複數方程。
3、轉化思想，轉化思想是複數的重要思想方法，既然在實數的基礎上擴充套件到複數，自然複數中的許多問題都可以轉化到實數集內解決，如求模運算，複數相等的充要條件及等，進行複數與實數間的轉化。
4、分類討論思想：它是一種比較重要的解題策略和方法，在複數中它能夠使複雜問題簡單化，從而化整為零，各個擊破。
5、主要方法有：待定係數法、整體法；待定係數法是利用複數的代數形式，設複數z＝a＋bi的形式代入，再利用複數相等或其它途徑，轉化為與a，b相關的等式，求出a，b即可得到複數z。在複數學習中有必要根據條件與待求結論的特點，通過研究問題的整體形式、整體結構或作某些整體處理，這樣往往可以避繁就簡，化難為易，順速解決問題。
六、 典例分析
1、基本概念計算類
例1．若且為純虛數，則實數a的值為_________
解：因為，＝，
又為純虛數，所以，3a－8＝0，且6＋4a0。
2、複數方程問題
*例2．證明：在複數範圍內，方程（i為虛數單位）無解。
證明：原方程化簡為設z＝x＋yi(x、y)，代入上述方程得整理得
方程無實數解，所以原方程在複數範圍內無解。
點評：本題主要考查複數方程等知識，一般是設z的代數形式，利用複數相等的充要條件轉化為代數方程。
3、綜合類
例3．設z是虛數，是實數，且－1<<2
（1） 求|z|的值及z的實部的取值範圍；
（2） 設，求證：m為純虛數；
（3） 求的最小值。
分析：本題考查複數的概念、複數的模、複數的運算及不等式的知識，以及運算能力和推理能力。
解：（1）設z＝a＋bi（a，b）
因為，是實數，
所以，，即|z|＝1， 因為＝2a，－1<<2，
所以，z的實部的取值範圍（－）。
（2）＝（這裡利用了（1）中）。 因為a（－），，所以m為純虛數。
（3）因為，a（－），所以，a＋1>0， 所以2×2－3＝1，
當a＋1＝，即a＝0時上式取等號， 所以，的最小值是1。
點評：本題以複數的有關概念為載體，考查學生的化歸能力，考查了均值不等式的應用，綜合考查學生運用所學知識解決問題的能力。正是高考的重點。
4、創新類
*例4．對於任意兩個複數)定義運算「⊙」為
⊙＝，設非零複數在復平面內對應的點分別為,點o為座標原點，若⊙＝0，則在中，的大小為
分析：本題立意新穎，解題入口寬，是一道不可多得的好題。
解法一：（解析法）設，故得點，，且＝0，即
從而有＝ 故,也即
解法二：（用複數的模）同法一的假設，知
＝＋－2（）＝＋－2×0
＝＋＝＋
由勾股定理的逆定理知
解法三：（用向量數量積的知識）同法一的假設，知，則有故
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