11、 數系的擴充與複數的引入
【考綱要求】
1．複數的概念
①理解複數的基本概念。②理解複數相等的充要條件。
③了解複數的代數表示法及其幾何意義。
2．複數的四則運算
①會進行複數代數形式的四則運算。②了解複數代數形式的加、減運算的幾何意義。
3．掌握分數法、0.618法及其適用範圍，能運用這些方法解決一些簡單的實際問題，知道優選法的思想方法。
4．了解斐波那契數列，理解在試驗次數確定的情況下分數法最佳性的證明，通過連分數知道和**分割的關係。
5．知道對分法、爬山法、分批試驗法，了解目標函式為多峰情況下的處理方法。了解多因素優選問題，了解處理雙因素問題的一些優選方法及其優選的思想方法。
6．了解正交實驗的思想和方法，能應用這種方法思考和解決一些簡單的實際問題。
（注：高考中，重點考查優選法的簡單運用）。
11.1 複數基本概念
【學習目標】
理解複數的基本概念。理解複數相等的充要條件。
【知識網路】
複數的基本概念、複數相等的充要條件。
【知識學習】
1．虛數單位：i滿足i2＝ ，|i|＝ 。
2．複數：z＝a＋bi(a、b∈r)的數，a稱為複數z的 ，b稱為複數z的 ；當b＝ 時，複數z是實數，當b≠ 時，複數z是虛數，當a＝ ，b≠ 時，複數z是純虛數。
3．複數的模：若z＝a＋bi(a、b∈r)，則|z
4．共軛複數：z＝a＋bi(a、b∈r)與互為共軛複數z＋∈r。
z·＝|z|2，z∈r z ，z是純虛數z＋＝ z2 0。
5．x1＋y1i＝x2＋y2i(x1、y1、x2、y2∈r不全是實數的兩個複數不能比較大小。
【典型例題】
例1（1）複數的共軛複數是
a． b． c． d．
（2 a． b． c． d．
（3）設、、、，若為實數，則
a． b． c． d．
（4）若,，且為純虛數，則實數a的值為
（5）已知(i是虛數單位),那麼a4
例2 已知複數z=1＋i，求實數a，b使得az＋2b=(a＋2z)2。
例3 設虛數z1、z2滿足z12=z2，若z1、z2是乙個實係數一元二次方程的兩個根，求z1、z2。
例4 對任意乙個非零複數z，定義集合mz=，設z是方程的乙個根，試用列舉法表示集合mz。
【課內練習】
1． i是虛數單位，等於 （ ）
a．1＋i b．－1－i c．1＋3i d．－1－3i
2．已知複數z1=3＋4i，z2=t＋i，且z1·是實數，則實數t等於（ ）
a． b． cd．－
3．設複數z=1＋，則z2－2z等於 （ ）
a．－3 b．3 c．－3i d．3i
4．已知複數z與(z＋2)2－8i均是純虛數，則z
5．若複數z滿足z(1＋i)=2,則z 的實部是
6．已知z是複數，z＋>2的乙個充要條件是z滿足
7．已知，其中m、n是實數，i是虛數單位，求m＋ni。
8．關於x的方程3x2－x－1=10i－ix－2ix2有實數根，求實數a的值。
9．當m分別為何實數時，複數z=m2－1＋(m2＋3m＋2)i是（1）實數？（2）虛數？（3）純虛數？（4）零？
11.2 複數的運算
【學習目標】
會進行複數代數形式的四則運算。
【知識網路】
複數的加減乘除運算。
【知識學習】
1．設，
加減法：故有
乘法：除法：
複數的加法、乘法滿足 ，結合律及乘法對加減法的 ，實數的正整數指數冪運算也能推廣到複數集中，
即3．常用結論：(1±i)2
在實數集中，＋＝0z1＝z2＝ ，在複數集c中，＋＝0可否有相同的結論？
（n∈z）
【典型例題】
例1 ⑴若，其中、，使虛數單位，則
abcd．５
⑵abc．1 d．
⑶投擲兩顆骰子，得到其向上的點數分別為m和n,則複數（m+ni）(n-mi)為實數的概率為
a、 bc、 d、
例2 計算⑴；⑵；⑶。
例3 設z是虛數，w=z+是實數，且－1＜ω＜2。
⑴求|z|的值及z的實部的取值範圍；⑵設u=，求證：u為純虛數；⑶求w－u2的最小值。
例4 若關於x 的方程x2＋(t2＋3t＋tx )i=0有純虛數根，求實數t的值和該方程的根。
【課內練習】
1．i是虛數單位， =（ ）
a．＋i b．－＋i c．－i d．－－i
2．設複數：為實數，則x=（ ）
a．－2 b．－1 c．1 d．2
3．複數（1＋）4的值是（ ）
a．4i b．－4i c．4 d．－4
4．如果複數（m2＋i）(1＋mi)是實數，則實數m
5．若複數（a∈r，i為虛數單位）是純虛數，求實數a的值。
6．對任意乙個非零複數z，定義集合mz=。
（1）設z是方程的乙個根，試用列舉法表示集合mz；若在mz中任意取兩個數，求其和為零的概率p；
（2）若集合mz中只有3個元素，試寫出滿足條件的乙個z 值，並說明理由。
7．已知複數z=1＋i，如果=1－i,求實數a,b的值。
11.3 複數幾何意義
【學習目標】
了解複數的代數表示法及其幾何意義。了解複數代數形式的加、減運算的幾何意義。
【知識網路】
複數幾何意義、加減法的幾何意義。
【知識學習】
1．z＝a＋bi(a、b∈r)的幾何形式：①點z向量
用來表示複數的座標平面稱為 ，其中x軸稱為 ，其上的點表示的複數是 ；y軸（除去原點）稱為 ，其上的點表示的複數是 。
2．複數z＝a＋bi(a、b∈r)就是點點z，就是向量，因而複數的加減法就是向量的加減法。
3．複數的模|z|＝r的幾何意義就是復平面上到原點的距離為r的點的集合，其軌跡是以原點為圓心，r為半徑的圓。
【典型例題】
例1（1）複數在復平面內，z所對應的點在（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
（2）已知|z|=1，則|z＋|＋|z－6|最小值是（ ）
a．6 b．37 c．5 d．6
（3）若z是複數，|z ＋2－2i|=1,則|z－2－2i|的最小值是（ ）
a．2 b．3 c．4 d．5
（4）複數z滿足|z－1|2－|z＋1|2=4,則複數 z在復平面內對應的點所在軌跡方程是
例2 已知z是複數，z＋2i,均為實數（i是虛數單位），且複數（z＋ai）2在復平面上對應的點在第一象限，求實數a的取值範圍。
例3 對於任意兩個複數z1=x1＋y1i, z2=x2＋y2i,(x1,x2,y1,y2為實數)，定義運算※為：z1※z2= x1x2＋y1y2,設非零複數ω1，ω2在復平面上對應點為p1，p2，點o為座標原點，ω1※ω2=0，在△p1op2中求∠p1op2的大小。
例4 設複數 z 滿足|z|=5,且（3＋4i）z在復平面上對應的點在第
二、四象限的角平分線上，|－m|=5 ( m∈r)，求z和m的值。
【課內練習】
1．在復平面內，複數＋(1＋i)2對應的點位於( )
a． 第一象限 b． 第二象限 c． 第三象限 d．第四象限
2．已知複數z滿足|z＋i|＋|z－i|=4,則z在復平面內對應點的軌跡是 （ ）
a．圓 b．線段 c．焦點在虛軸上的橢圓 d．焦點在實軸上的橢圓
3．已知複數z滿足|z＋3－4i|=2，則|z|的最大值和最小值分別是（ ）
a．1和9 b．3和7 c．5和11 d．4和10
4．設z是複數，則由z、|z|、、||、|z|2、||2、z2、2所組成的集合中，最多含有的元素個數是 （ ）
a．5 b．6 c．7 d．8
5．非零複數z1、z2滿足關係|z1|=|z2|=1，且|z1＋z2|=|z1－z2|，則以，為鄰邊的四邊形是6．設複數z 滿足，則|1＋z
7．方程z＋||=2＋1的解是
8．m分別為何實數時，複數z=m2－1＋(m2－3m＋2)i
(1)表示的點位於第二象限；
（2）表示的點位於復平面內的直線y=2x上。
9．已知複數z=, 且|z－1|是|z|和|z－2|的等比中項，求|z|。
10．在複數範圍內解方程(i為虛數單位)。
11.4 優選法
【學習目標】
掌握分數法、0.618法及其適用範圍，能運用這些方法解決一些簡單的實際問題，知道優選法的思想方法。了解斐波那契數列，理解在試驗次數確定的情況下分數法最佳性的證明，通過連分數知道和**分割的關係。
知道對分法、爬山法、分批試驗法，了解目標函式為多峰情況下的處理方法。了解多因素優選問題，了解處理雙因素問題的一些優選方法及其優選的思想方法。
【知識網路】
優選法、單峰函式、單因素問題、好點與差點、**分割法、分數法及其應用。
【知識學習】
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