章末總結
知識點一複數的基本概念
複數的概念是掌握複數的基礎，如虛數、純虛數、複數相等、複數的模等．有關複數的題目不同於實數，應注意根據複數的相關概念解答．
例1 設複數z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，試求實數m的取值，使(1)z是純虛數；(2)z是實數；(3)z在復平面上的對應點在復平面的第二象限．
知識點二複數的四則運算
1．複數加、減、乘、除運算的實質是實數的加減乘除，加減法是對應實、虛部相加減，而乘法模擬多項式乘法，除法模擬分式的分子分母有理化，注意i2＝－1.
2．在高考中，本章考查的熱點是複數的運算，尤其是複數的乘除運算，其中滲透著複數的模，共軛複數等概念，熟練掌握運算法則，熟悉常見的結果是迅速求解的關鍵，一般以選擇題、填空題的形式考查．
例2 已知＝2＋i，則複數z等於( )
a．－1＋3ib．1－3i
c．3＋id．3－i
例3 已知複數z與(z＋2)2－8i均是純虛數，求複數z.
知識點三複數問題實數化
複數問題實數化是解決複數問題的最基本也是最重要的思想方法，橋梁是設z＝x＋yi (x，y∈r)，依據是複數相等的充要條件．
例4 設存在複數z同時滿足下列條件：
(1)複數z在復平面內對應的點位於第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai (a∈r)．求a的取值範圍．
知識點四復數的幾何意義
1．復數的幾何意義包括三個方面：複數的表示(點和向量)、複數的模的幾何意義及複數的運算的幾何意義．復數的幾何意義體現了用幾何圖形的方法研究代數問題的數學思想方法．
例5 在復平面內，向量對應的複數是2＋i，向量對應的複數是－1－3i，則向量對應的複數為( )
a．1－2ib．－1＋2i
c．3＋4id．－3－4i
例6 已知a∈r，z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所對應的點在第幾象限？複數z對應的點的軌跡是什麼？
第三章章末總結
答案重點解讀
例1 解 (1)由得m＝3.
∴當m＝3時，z是純虛數．
(2)由得m＝－1或m＝－2.
∴當m＝－1或m＝－2時，z是實數．
(3)由
得－1∴當－1例2 b [∵＝2＋i，
∴＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，
∴z＝1－3i.]
例3 解設z＝bi (b∈r，b≠0)，
則(z＋2)2－8i＝(2＋bi)2－8i＝(4－b2)＋(4b－8)i，
∵(z＋2)2－8i為純虛數，∴4－b2＝0且4b－8≠0.
∴b＝－2.∴z＝－2i.
例4 解設z＝x＋yi (x，y∈r)，則＝x－yi.
由(1)知，x<0，y>0，
又z·＋2iz＝8＋ai (a∈r)，
故(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即(x2＋y2－2y)＋2xi＝8＋ai.
∴消去x，整理，得4(y－1)2＝36－a2，
∵4(y－1)2≥0，
∴36－a2≥0，∴－6≤a≤6.
又2x＝a，而x<0，∴a<0，∴－6≤a<0.
所以a的取值範圍為[－6,0)．
例5 d [∵對應複數2＋i，對應複數1＋3i，
∴對應複數(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i，
∴對應的複數是－3－4i.]
例6 解由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，
∴複數z的實部為正數，虛部為負數，因此，複數z的對應點在第四象限．設z＝x＋yi (x、y∈r)，
則消去a2－2a得：y＝－x＋2 (x≥3)．
∴複數z的對應點的軌跡是一條射線，
方程為y＝－x＋2 (x≥3)．
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